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已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．
（1）(ⅰ)求橢圓的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡的方程；
（2）在曲線上有四個不同的點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

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已知橢圓的長軸長為，離心率為，橢圓C₂與C₁有共同的短軸．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若C₂與直線l：x-y+2=0有兩個不同的交點，求橢圓的離心率e₂的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．  A      2． B       3． C       4． A         5．B

6．  D      7． A       8． C       9． D         10．C

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．

11．       12．   13．24     14．

15．168              16．①②③      17．1：（-6）：5：（-8）

三、解答題：本大題共6小題，共74分．

18．解：(Ⅰ)由

                                         ---------4分

由，得

即

則，即為鈍角，故為銳角，且

則

故．                                     ---------8分

(Ⅱ)設，

由余弦定理得

解得

故．                        ---------14分

19．解：（1）      --------4分

（2）x可能取的所有值有2,3,4                           --------5分

                    --------8分

∴x的分布列為：

∴Ex=                    --------10分

（3）當時，取出的3張卡片上的數字為1,2,2或1,2,3

當取出的卡片上的數字為1,2,2或1,2,3的概率為，

∴                             --------14分

20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，

∴EF⊥平面BDN，

∴平面BDN⊥平面BCEF，

又因為BN為平面BDN與平面BCEF的交線，

∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上

而D在平面BCEF上的射影在BC上，

∴D在平面BCEF上的射影即為點B，即BD⊥平面BCEF. 　　--------4分

（Ⅱ）法一．如圖，建立空間直角坐標系，

∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，

則BN=，DN=，∴折后圖中BD=3，BC=3

∴，

∴

∴

∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為.　　　　　--------９分

法二．在線段BC上取點M，使BM=FN，則MN//BF

∴∠DNM或其補角為DN與BF所成角。

又MN=BF=2，    DM=，。

∴

∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為。

（Ⅲ）∵AD//EF，

∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，

∴

即所求三棱錐的體積為.　　　　　　　　　　　　　　　--------14分

21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得，

則所求橢圓方程.　　　　　　　　　　--------3分

(?)由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.     --------6分

 (Ⅱ)當直線MN的斜率不存在時，|MN|=4，

此時PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，

從而.            --------8分

設直線的斜率為，則,直線的方程為：

直線PQ的方程為，

設

由，消去可得

由拋物線定義可知：

 ----10分

由，消去得，

從而，             --------12分

∴

令，

∵k>0，則

則

所以                       --------14分

所以四邊形面積的最小值為8.                    --------15分

22．解：（Ⅰ）

∵為的極值點，∴

∴且

∴.

又當時，，從而為的極值點成立。

                                                  --------4分

（Ⅱ）因為在上為增函數，

所以在上恒成立.    --------6分

若，則，

∴在上為增函數不成立；

若，由對恒成立知。

所以對上恒成立。

令，其對稱軸為，

因為，所以，從而在上為增函數。

所以只要即可，即

所以

又因為，所以．                    --------10分

（Ⅲ）若時，方程

可得

即在上有解

即求函數的值域．

法一：

令

由

∵

∴當時，，從而在(0,1)上為增函數；

當時，，從而在(1，+∞)上為減函數。

∴，而可以無窮小。

∴的取值范圍為.                               --------15分

法二：

當時，，所以在上遞增；

當時，，所以在上遞減；

又，∴令，.

∴當時，，所以在上遞減；

當時，，所以在上遞增；

當時，，所以在上遞減；

又當時，，

當時, ,則，且

所以的取值范圍為.                              --------15