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在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數k，直線(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0恒過定點F．設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2+

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關系．

在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點到橢圓E的兩個焦點距離之和為2

3

，橢圓E的離心率為

6

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若b為橢圓E的半短軸長，記C（0，b），直線l經過點C且斜率為2，與直線l平行的直線AB過點（1，0）且交橢圓于A、B兩點，求△ABC的面積S的值．

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，

若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．