Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點到橢圓E的兩個焦點距離之和為2

3

，橢圓E的離心率為

6

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若b為橢圓E的半短軸長，記C（0，b），直線l經過點C且斜率為2，與直線l平行的直線AB過點（1，0）且交橢圓于A、B兩點，求△ABC的面積S的值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件，先求出a，b，c的值，然后再求橢圓E的方程．
（2）由題設知點C（0，1），直線L的方程為：y=2x+1，直線AB的方程為：y=2x-2．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=2x-2代入橢圓E的方程

x2

3

+y2=1，整理可得：13x²-24x+9=0，再由根與系數的關系和點到直線的距離公式能夠求出△ABC的面積S的值．

解答：解：（1）由題意，得

2a=2 3 c a = 6 3 a2=b2+c2

（2分）
∴

a= 3 b=1 c= 2 .

（4分）
∴橢圓E的方程為

x2

3

+y2=1（5分）
（2）由（1）可知點C（0，1），易知直線L的方程為：y=2x+1（6分）
直線AB的方程為：y=2x-2（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=2x-2代入橢圓E的方程

x2

3

+y2=1
整理可得：13x²-24x+9=0，（8分）
則x1+x2=

24

13

，x1x2=

9

13

，可得|x1-x2|=

6 3

13

（10分）
故|AB|=

1+22

|x1-x2|=

5

×

6 3

13

（11分）
設點C（0，1）到直線AB的距離為d，由點到直線的距離公式可得：d=

3

1+22

=

3

5

（13分）
∴△ABC的面積S=

1

2

×|AB|×d=

1

2

×

5

×

6 3

13

×

3

5

=

9 3

13

．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘條件，合理地運用韋達定理和點到直線的距離公式進行解題．