Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

I）證明見解析

（II）．                            

解析:

（I）設，由知，點C的軌跡為．2分

由消y得：．設，．

則，，               

所以,所以, 于是．                   7分

（II）假設存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為

．由消x得：．

設，，則，．              

因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，所以

即，所以得，

所以存在．