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如圖，正四棱柱中，，點在上且，點是線段的中點
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求三棱錐的體積.

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一、

1．C      2．A      3．D      4．C      5．A      6．B       7．A      8．C      9．D      10．C

11．D    12．B

1～5略

6．或．

7．解：

       ．

其展開式中含的項是：，系數等于．

8．解：根據題意：．

9．解：，橢圓離心率為，，．

10．解：依腰意作出圖形．取中點，連接、，則，不妨設四面體棱長為2，則是等腰三角形，必是銳角，就是與所成的角，．

11．解：已知兩腰所在直線斜率為1，，設底邊所在直線斜率為，已知底角相等，由到角公式得：

       ，解得或．

       由于等腰三角底邊過點（，0）則只能取．

12．解：如圖，正四面體中，是

中心，連，此四面體內切球與外接球具有共同球心．必在上，并且等于內切球半徑，等于外接球半徑．記面積為，則

，從而．

二、

13．．解：，與共線．

14．．解：，曲線在（1，0）處的切線與直線垂直，則，的傾角是．

15．曲線     ①，化作標準形式為，表示橢圓，由于對稱性．取焦點，過且傾角是135°的弦所在直線方程為：，即②，聯立式①與式②．消去y，得：，由弦長公式得：．

16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．

充要條件②：底面是正三角形．且三條側棱長相等，

充要條件③：底面是正三角形，且三個側面與底面所成角相等．

再如：底面是正三角形．且三條側棱與底面所成角相等；三條側棱長相等，且三個側面與底面所成角相等；三個側面與底面所成角相等，三個側面兩兩所成二面角相等．

三、

17．解：，則，，．由正弦定理得

       ，

       ．

18．（1）證：已知是正三棱柱，取中點，中點，連，，則、、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標系，又已知，

則．

，，則，又因與相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一個法向量．

，設是面的一個法向量，則①，②，取，聯立式①、②解得，則．

              二面角是銳二面角，記其大小為．則

              ，

二面角的大小，亦可用傳統方法解（略）．

19．解：已知各投保學生是否出險相互獨立，且每個投保學生在一年內出險的概率都是，記投保的5000個學生中出險的人數為，則（5000，0．004）即服從二項分布．

（1）記“保險公司在學平險險種中一年內支付賠償金至少5000元”為事件A，則

              ，

              ．

（2）該保險公司學平險除種總收入為元=25萬元，支出成本8萬元，支付賠償金5000元=0．5萬元，盈利萬元．

由~知，，

進而萬元．

故該保險公司在學平險險種上盈利的期望是7萬元．

20．解（1）：由得，即，

              ，而

由表可知，在及上分別是增函數，在及上分別是減函數．

．   

（2）時，等價于，記，

則，因，

則在上是減函數，，故．

當時，就是，顯然成立，綜上可得的取值范圍是：

22．解：（1）由條件可知橢圓的方程是：

                ①，直線的方程是            ②，

聯立式①、②消去并整理得，由此出發時，是等比數列，

．

（2）由（1）可知，．當時，

       ，

       是遞減數列

       對恒成立．

       ，時，是遞減數列．

21．解（1）：，由解得函數定義域呈．

              ，由解得，列表如下：

0

0

ㄊ

極大

ㄋ

ㄋ

極小

ㄊ

              解得，進而求得中點．

              己知在直線上，則．

       （2）．

設，則，點到直線的距離

．

，由于直線與線段相交于，則，則．

記，則．

其次，，同理求得到的中離：，

設，即，由得．

，

即且時，．

又，當即時，．注意到，由對稱性，時仍有

故，進而．

故四邊形的面積：

，

當時，．