Question

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，各棱長(zhǎng)都是a,D、E分別是AC₁、BB₁的中點(diǎn).

(1)求證：DE是異面直線AC₁、BB₁的公垂線段，并求其長(zhǎng)度；

(2)求二面角E-AC₁-C的大��；

(3)求點(diǎn)C₁到平面AEC的距離.

Answer 1

(1)證明：過(guò)D在面AC₁內(nèi)作FG∥A₁C₁分別交AA₁、CC₁于F、G，則面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，D為FG中點(diǎn)，ED⊥FG，面EFG⊥面AC₁.?

又面EFG⊥BB₁，∴ED⊥BB₁.?

故DE是異面直線AC₁、BB₁的公垂線段，DE=a.?

(2)解析：容易證得CD⊥AC₁，又由上小題可知DE⊥AC₁,∴∠CDE為二面角E-AC₁-C的平面角.

可得∠CDE=90°，故二面角E-AC₁-C為90°.?

(3)解析：用體積法可得點(diǎn)C₁到平面AEC的距離為a.