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先閱讀以下材料，然后解答問題：

材料：將二次函數的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，求平移后的拋物線的解析式（平移后拋物線的形狀不變）。

解：在拋物線撒謊個任取兩點（0，3）、（1，4），由題意知：點向左平移1個單位得到（，3），再向下平移2個單位得到（，1）；點向左平移1個單位得到（0，4），再向下平移2個單位得到（0，2）。

設平移后的拋物線的解析式為。

則點（，1），（0，2）在拋物線上。

可得：，解得：。

所以平移后的拋物線的解析式為：。

根據以上信息解答下列問題：

將直線向右平移3個單位，再向上平移1個單位，求平移后的直線的解析式。

閱讀下列材料，按要求解答問題：
如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．小明通過以下計算：由題意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=

3

b，得a²-b²=（

3

b）²-b²=2b²=b•c．即a²-b²=bc．于是，小明猜測：對于任意的△ABC，當∠A=2∠B時，關系式a²-b²=bc都成立．
（1）如圖2，請你用以上小明的方法，對等腰直角三角形進行驗證，判斷小明的猜測是否正確，并寫出驗證過程；
（2）如圖3，你認為小明的猜想是否正確？若認為正確，請你證明；否則，請說明理由；
（3）若一個三角形的三邊長恰為三個連續偶數，且∠A=2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由．

探索一個問題：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半”（完成下列空格）
（1）當已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：

x+y= 7 2 xy=3

，消去y化簡得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x₁=，x₂=．∴滿足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？
（4）如圖，在同一平面直角坐標系中畫出了一次函數和反比例函數的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結合剛才的研究，回答下列問題：
①這個圖象所研究的矩形A的兩邊長為和；
②滿足條件的矩形B的兩邊長為和．