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如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅱ）求直線A₁B₁與平面A₁DC的所成角的正弦值．

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D為BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求異面直線C₁D與直線A₁C所成角的余弦值．

（2011•靜海縣一模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

（2013•宜賓二模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE與平面A₁BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）當D點在何處時，A₁B的長度最小，并求出最小值．