Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅱ）求直線A₁B₁與平面A₁DC的所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BC₁∥平面CA₁D，必須證明BC₁∥平面CA₁D內的一條直線，因而連接AC₁與A₁C的交點E與D，證明即可；
（Ⅱ）由VB1-A1DC=VC-A1B1D可求點B₁到平面A₁DC的距離，即可求直線A₁B₁與平面A₁DC的所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連接BC₁，連接AC₁交A₁C于E，連接DE，則E是AC₁中點，
∵D是AB中點，∴DE∥BC₁，
又∵DE?面CA₁D，BC₁?面CA₁D，
∴BC₁∥面CA₁D；
（Ⅱ）設點B₁到平面A₁DC的距離為h，則
∵AC=BC，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，D為棱AB的中點，AC=BC=BB₁=2，
∴A₁D=

5

，CD=

3

，A₁C=2

2

，
∴由勾股定理可得CD⊥A₁D，
∵AB∩A₁D=D，
∴CD⊥平面A₁B，
由VB1-A1DC=VC-A1B1D可得

1

3

•

1

2

•2

2

•2•

3

=

1

3

•

1

2

•

5

•

3

•h，
∴h=

4 10

5

，
∴直線A₁B₁與平面A₁DC的所成角的正弦值為

4 10 5

2 2

=

2 5

5

．

點評：本題考查棱柱的結構特征，考查線面平行，考查線面角，正確運用線面平行的判定，求出點B₁到平面A₁DC的距離是關鍵．