Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是棱AB的中點，BC=1，AA₁=

3

．
（1）求證：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．

Answer 1

分析：（I）連接AC₁交A₁C于點G，連接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，則AC=GC₁，而AD=DB，則DG∥BC₁，DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，根據線面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC．
（II）過點D作DE⊥AC交AC于E，過點D作DF⊥A₁C交A₁C于F，連接EF，而平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE?平面ABC，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
根據面面垂直的性質定理可知DE⊥平ACC₁A₁，則EF是DF在平面ACC₁A₁內的射影，則EF⊥A₁C，從而∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角，在直角三角形ADC中，求出DE、DF，即可求出∠DFE．

解答：（I）證明：連接AC₁交A₁C于點G，連接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴AC=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁（2分）
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．（4分）
（II）解：過點D作DE⊥AC交AC于E，過點D作DF⊥A₁C交A₁C于F，連接EF．
∵平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE?平面ABC，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴DE⊥平ACC₁A₁．
∴EF是DF在平面ACC₁A₁內的射影．
∴EF⊥A₁C，
∴∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角，（8分）
在直角三角形ADC中，DE=

AD•DC

AC

=

3

4

．
同理可求：DF=

A1D•DC

A1C

=

39

8

．
∴sinDFE=

DE

DF

=

2 13

13

．
∴∠DFE∈(0，

π

2

)．
∴∠DFE=arcsin

2 13

13

．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定定理以及二面角的求法．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．