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題目列表(包括答案和解析)
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一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共計60分）
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 11．D 12．D
1,3,5
13．－1 14． 15． 16．②③
三、解答題（本大題共6小題，共計70分）
17．（本小題滿分10分）
解：化簡條件得 …………2分
根據集合中元素個數集合B分類討論，
當
…………4分
當 …………6分
當 …………2分
…………8分
綜上所述， …………10分
18．（本小題滿分12分）
解：
…………2分
即 …………4分
即 …………8分
又
…………10分
…………12分
19．（本小題滿分12分）
解：（1）取出的兩個球都是黑球，則甲盒恰好有兩個黑球的事件記為A1，
取出的兩個球都是紅球，則甲盒恰好有兩個黑球的事件記為A2，
所以 …………6分
（2） …………7分
…………9分
ξ得分布列為
20．（本小題滿分12分）
證明：（I）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，
∵∠ACB = 90°，
∴BC⊥面ACC1A1， …………2分
∵AM面ACC1A1
∴BC⊥AM
∵AM⊥BA1，且BC∩BA1=B
∴AM⊥平面A1BC …………4分
（II）設AM與A1C的交點為O，連結BO，由（I）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC為二面角B ? AM ? C的平在角 …………5分
在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC +∠ACO=90°，
∴∠AA1C =∠MAC
∴Rt△ACM∽Rt△A1AC
∴AC2 = MC?AA1
…………7分
，故所求二面角的大小為45° …………9分
（III）設點C到平面ABM的距離為h，易知BO=，
可得 …………10分
∴點C到平面ABM的距離為 …………12分
解法二：（I）同解法一
（II）如圖以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則
即 …………6分
設向量，則
的平面AMB的一個法向量為
是平面AMC的一個法向量 …………8分
易知，所夾的角等于二面角B ? AM ? C的大小，故所求二面角的大小為45°
（III）向量即為所求距離 …………10分
21．（本小題滿分12分）
（1）解：，
，
即 …………3分
…………6分
（II）由（I）及， …………8分
（1）
（2）
（2）－（1）得，
要使
成立的正整數n的最小值為5. …………12分
22．（本小題滿分12分）
解：（I） …………2分
處的切線互相平行
…………3分
（II）
…………5分
∴滿足條件的a的值滿足下列不等式組
①，或 ②
不等式組①的解集為空集，解不等式組②得
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是： …………12分
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15．
16．②③
…………2分
…………4分
…………6分
…………2分
…………8分
…………10分
…………2分
…………4分
…………8分
…………10分
…………2分
…………4分
…………6分
…………7分
…………8分
…………9分
…………12分
面ACC1A1
…………7分
，故所求二面角的大小為45° …………9分
，
…………10分
…………12分
…………6分
，則
的平面AMB的一個法向量為
是平面AMC的一個法向量 …………8分
所夾的角等于二面角B ? AM ? C的大小，故所求二面角的大小為45°
即為所求距離 …………10分
…………12分
，
，
…………3分
，
…………6分
， …………8分
，
（1）
（2）
…………10分
成立的正整數n的最小值為5. …………12分
…………2分
處的切線互相平行
…………3分
…………4分
…………5分
…………7分
…………9分
①，或
②
…………12分