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已知半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)與半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，
（1）若三角形F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求

b

a

的取值范圍；
（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦．是否存在實數k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由．

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一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）

1．； 2．；  3．；  4．；  5．；  6．155；  7．.(1,2)；   8．；   9．；   10．；   11．；  12．.

二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）

13．C；   14．D；   15．B；   16．D

三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）

17．

所以函數的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

18． (1)略；（2）3;（3）

19．設實根為，則

   ∴，此時，，公共根，  ∴或

20．設每年砍伐面積的百分比為. 則  ， ∴  ，．

(1) 設到今年為止，該森林已砍伐了x年，∴  ，

于是 ，表明已砍伐了年．

(2) 設從開始砍伐到至少保留到原面積的25％，需y年．

∴  ，∴     y ≤ 2T．

因此今后最多還能砍伐的年數為 ．

21．（1）當時，集合，由得：

，故的取值范圍是；

（2）當時，集合，由得：

，故的取值范圍是；

（3）依題意；，(1)-(2)、(1)-(3)得：，代入得：. 綜上：.

22．曲線為橢圓。設、是直線與拋物線的交點，由，得。則，，  。

（2）設，則，得，即為所求.