Question

已知半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)與半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，
（1）若三角形F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求

b

a

的取值范圍；
（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦．是否存在實數k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為F0(c，0)，?F1(0，-

b2-c2

)，?F2(0，

b2-c2

)，
所以?|F0F2|=

(b2-c2)+c2

=b=1，|F1F2|=2

b2-c2

=1，
由此可知“果圓”方程為

4

7

x2+y2=1?(x≥0)，y2+

4

3

x2=1(x≤0)．
（2）由題意，得

a2-b2

＞2b-a，所以a²-b²＞（2b-a）²，得

b

a

＜

4

5

．再由

b2

a2

＞

1

2

可知

b

a

的取值范圍．
（3）設“果圓”C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1?(x≥0)，

y2

b2

+

x2

c2

=1?(x≤0)．記平行弦的斜率為k．當k=0時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．當k＞0時，以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1?(x≥0)的交點是(

2ka2b

k2a2+b2

，

k2a2b-b3

k2a2+b2

)．由此，在直線l右側，以k為斜率的平行弦的中點軌跡在直線y=-

b2

ka2

x上，即不在某一橢圓上．
當k＜0時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．

解答：解：（1）∵F0(c，0)，F1(0，-

b2-c2

)，F2(0，

b2-c2

)，
∴|F0F2|=

(b2-c2)+c2

=b=1，|F1F2|=2

b2-c2

=1，
于是c2=

3

4

，a2=b2+c2=

7

4

，
所求“果圓”方程為

4

7

x2+y2=1(x≥0)，y2+

4

3

x2=1(x≤0)

（2）由題意，得a+c＞2b，即

a2-b2

＞2b-a．
∵（2b）²＞b²+c²=a²，∴a²-b²＞（2b-a）²，得

b

a

＜

4

5

．
又b²＞c²=a²-b²，
∴

b2

a2

＞

1

2

．∴

b

a

∈(

2

2

，

4

5

)．

（3）設“果圓”C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)，

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)．
記平行弦的斜率為k．
當k=0時，直線y=t（-b≤t≤b）與半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)的交點是P(a

1- t2 b2

，t)，
與半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)的交點是Q(-c

1- t2 b2

，t)．
∴P，Q的中點M（x，y）滿足

x= a-c 2 • 1- t2 b2 y=t

得

x2

( a-c 2 )2

+

y2

b2

=1．
∵a＜2b，∴(

a-c

2

)2-b2=

a-c-2b

2

•

a-c+2b

2

≠0．
綜上所述，當k=0時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．
當k＞0時，以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)的交點是(

2ka2b

k2a2+b2

，

k2a2b-b3

k2a2+b2

)．
由此，在直線l右側，以k為斜率的平行弦的中點軌跡在直線y=-

b2

ka2

x上，即不在某一橢圓上．
當k＜0時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．