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已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx，且f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值為

1

2

e2+1，求a的值．

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx．
（Ⅰ）當a＜0時，若?x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（a+1）x，a∈（1，e]，證明：對?x₁，x₂∈[1，a]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|＜1．