Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx，且f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值為

1

2

e2+1，求a的值．

Answer 1

分析：先求導(dǎo)函數(shù)，然后討論a的值，分別研究函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，建立等量關(guān)系即可求出a的值．

解答：解：f'（x）=x+

a

x

當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）＞0∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為

1

2

e2，不符合題意
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=0，解得x=

-a

，當(dāng)

-a

≤1時(shí)不合題意，當(dāng)1＜

-a

＜e，時(shí)也不合題意，當(dāng)

-a

＞e也不合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＞0∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為

1

2

e2+a，
而f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值為

1

2

e2+1，
∴a=1即a的值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．