【題目】在正方形 ABCD 中，M 是 BC 邊上一點，且點 M 不與 B、C 重合，點 P 在射線 AM 上，將線段 AP 繞點 A 順時針旋轉 90°得到線段 AQ，連接BP，DQ．
（1）依題意補全圖 1；
（2）①連接 DP，若點 P，Q，D 恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2=2AB2；
②若點 P，Q，C 恰好在同一條直線上，則 BP 與 AB 的數量關系為： ．
【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②BP=AB．
【解析】
（1）根據要求畫出圖形即可；
（2）①連接BD，如圖2，只要證明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解決問題；
②結論：BP=AB，如圖3中，連接AC，延長CD到N，使得DN=CD，連接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；
（1）解：補全圖形如圖 1：
（2）①證明：連接 BD，如圖 2，
∵線段 AP 繞點 A 順時針旋轉 90°得到線段 AQ，
∴AQ=AP，∠QAP=90°，
∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠1=∠2．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ=BP，∠Q=∠3，
∵在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，
∵在 Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2， 又∵DQ=BP，BD2=2AB2，
∴DP2+DQ2=2AB2．
②解：結論：BP=AB．
理由：如圖 3 中，連接 AC，延長 CD 到 N，使得 DN=CD，連接 AN，QN．
∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，
∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，
∵∠AQP=45°，
∴∠NQC=90°，
∵CD=DN，
∴DQ=CD=DN=AB，
∴PB=AB．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD＝CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若OF⊥BD于點F，且OF＝2，BD＝4
，求圖中陰影部分的面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）
（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，AD的長為 ；
②當AC=3，BC=4時，AD的長為 ；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】定義：對于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0），若b2＝ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝x2﹣x+1是黃金拋物線
（1）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式；
（2）將黃金拋物線y＝x2﹣x+1沿對稱軸向下平移3個單位
①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；
②新拋物線如圖所示，與x軸交于A、B（A在B的左側），與y軸交于C，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，連結PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
③當直線BC下方的拋物線上動點P運動到什么位置時，四邊形 OBPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形OBPC的最大面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，菱形ABCD的頂點B在x軸的正半軸上，點A坐標為(-4,0)，點D的坐標為(-1,4)，反比例函數
的圖象恰好經過點C，則k的值為______.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在
中, 
,
,
,點
是斜邊的中點,以點為頂點作
,射線
、
分別交邊
、
于點
、
.
特例
（1）如圖1，若
，不添加輔助線，圖1中所有與相似的三角形為 ，
；
操作探究：
（2）將（1）中的
從圖1的位置開始繞點按逆時針方向旋轉，得到
，如圖2，當射線
，
分別交邊、于點
、
時，求
的值；
拓展延伸：
（3）如圖3，中，![](http://thumb.zyjl.cn/Upload/2020/11/27/11/6853cd72/SYS202011271124548633909950_ST/SYS202011271124548633909950_ST.002.png"){kind=small}
，
，
，點是斜邊
的中點，以點為頂點作，射線、分別交邊、的延長線于點、，則
的值為 .（用含
、
的代數式表示，直接回答即可）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，與x軸有兩個交點，與y軸交點的坐標為(0,3)，把它向下平移2個單位后，得到新的拋物線的解析式是y=ax2＋bx＋c，以下四個結論：①b2－4ac<0；②abc<0；③4a＋2b＋c=1；④a－b＋c>0，其中正確的是
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在菱形ABCD中，∠BAD＝α，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合）將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數量關系．
（1）如圖1，當α＝β＝90°時，EB與EF的數量關系為 ；
（2）如圖2，當α＝60°，β＝120°時，
①依題意補全圖形；
②探究（1）的結論是否成立，若成立，請給出證明；若不成立，請舉出反例證明．
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