Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD＝α，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合）將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數量關系．

（1）如圖1，當α＝β＝90°時，EB與EF的數量關系為　 　；

（2）如圖2，當α＝60°，β＝120°時，

①依題意補全圖形；

②探究（1）的結論是否成立，若成立，請給出證明；若不成立，請舉出反例證明．

Answer 1

【答案】（1）EB＝EF；（2）①見解析；②成立，理由見解析

【解析】

（1）作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．根據角平分線的性質可證EM=EN，從而根據“ASA”可證△EMF≌△ENB，由全等三角形對應邊相等得到EB=EF；

（2）①依題意以E為旋轉中心，在EB順時針方向作∠BEF=120°，與AD的延長線交于F.

②方法一：過點E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N，利用菱形的性質得出，∠DAC=∠BAC，再用角平分線的性質，得出EM=EN，進而證明△EFM≌△EBN即可證明EF=EB；

方法二：連接ED，利用菱形的性質可證明△AED≌△AEB，所以ED=EB，∠ADE=∠ABE，再證明∠F=∠FDE，根據等角對等邊EF=ED，即可證明EF=EB.

（1）EB＝EF，

理由是：如圖1，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴AE平分∠DAB，

∴EM＝EN，

∵∠BEF＝∠NEM＝90°，

∴∠MEF＝∠NEB，

∵∠EMF＝∠BNE＝90°，

∴△EMF≌△ENB（ASA），

∴EB＝EF；

故答案為：EB＝EF；

（2）①補全圖形如圖2所示，

②結論依然成立EB＝EF；

證法1：如圖3，

過點E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠CAD＝∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴∠FME＝∠ENB＝90°，EM＝EN，

∵∠BAD＝60°，∠BEF＝120°，

∴∠F+∠ABE＝360°﹣∠BAD﹣∠BEF＝180°．

∵∠ABE+∠EBN＝180°，

∴∠F＝∠EBN；

在△EFM與△EBN中，

∴△EFM≌△EBN（AAS）．

∴EF＝EB；

證法2：如圖4，連接ED

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAE．

又∵AE＝AE，

∴△ADE≌△ABE（SAS）．

∴ED＝EB，∠ADE＝∠ABE，

又∵∠DAB＝60°，∠BEF＝120°．

∴∠F+∠ABE＝180°．

又∵∠ADE+∠FDE＝180°，

∴∠F＝∠FDE．

∴EF＝ED．

∴EF＝EB．