題目列表(包括答案和解析)
已知數列
的前
項和為
，且對任意正整數，有，
，（
，
）成等差數列，令
。
（1）求數列的通項公式
（用
，表示）
（2）當
時，數列
是否存在最小項，若有，請求出第幾項最小；若無，請說明理由；
（3）若是一個單調遞增數列，請求出的取值范圍。
已知數列
的前
項和為
，且對任意正整數，有，
，（
，
）成等差數列，令
。（1）求數列的通項公式
（用
，表示）
（2）當
時，數列
是否存在最小項，若有，請求出第幾項最小；若無，請說明理由；
（3）若是一個單調遞增數列，請求出的取值范圍。
(14分)
已知數列
的前
項和為
，且對任意正整數，有，
，(
，
)成等差數列，令
。
(1)求數列的通項公式
(用
，表示)
(2)當
時，數列
是否存在最小項，若有，請求出第幾項最小；若無，請說明理由；
(3)若是一個單調遞增數列，請求出的取值范圍。
(14分) 已知數列
的前
項和為
，且對任意正整數，有，
，(
，
)成等差數列，令
。
(1)求數列的通項公式
(用
，表示)
(2)當
時，數列
是否存在最小項，若有，請求出第幾項最小；若無，請說明理由；
(3)若是一個單調遞增數列，請求出的取值范圍。
（12分）已知數列
的前
項和為
，且
（為正整數）
（I）求數列的通項公式；
，是否存在
，使得
恒成立，若存在，求實數
的最大值；若不存在，說明理由。一、填空題（本大題共11題，每小題5分，滿分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相離 7．
8．
9．
10．
11．
二、選擇題（本大題共4題，每小題5分，滿分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答題（本大題滿分75分）
16．（1）證明：易知
，又由
平面
，得
，從而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延長
交圓
于點
，連接
，
，則
，得
或它的補角為異面直線
與
所成的角.
（6分）
由題意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得異面直線 與所成的角為
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2個球為異色球的不同摸法種數為
種，從8個球中摸出2個球的不同摸法種數為
，故所求的概率為
； （6分）
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有
種不同摸法，
（8分）
一種是所摸得的3球中有2個紅球，1個其它顏色球，共有
種不同摸法，
（10分）
一種是所摸得的3球均為紅球，共有
種不同摸法， （12分）
故符合條件的不同摸法共有
種.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相減得
，由
得
，又
，得
，故數列
是一個以為首項，以
為公比的等比數列.
（4分）
從而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，
不存在. （14分）
19．（1）證明：任取
，
，且
，
.
所以
在區間
上為增函數. （5分）
函數在區間
上為減函數.
（6分）
（2）解：因為函數在區間上為增函數，相應的函數值為
，在區間上為減函數，相應的函數值為
，由題意函數的圖像與直線
有兩個不同的交點，故有
，
（8分）
易知
，
分別位于直線
的兩側，由
，得
，故
，
，又
，
兩點的坐標滿足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
當
時，
，
.
因此，
的取值范圍為
.
（17分）
20. 解：（1）設
，易知
，
，
，由題設
，
得
其中
，從而
，
，且
，
又由已知
，得
，
當
時，
，此時
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
當
時，點
為原點，
為
軸，
為
軸，點也為原點，從而點
也為原點，因此點的軌跡
的方程為，它表示以原點為頂點，以
為焦點的拋物線；
（4分）
（2）由題設，可設直線
的方程為
，直線
的方程為
，
，又設
、
，
則由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
則
，
當且僅當
時等號成立，因此四邊形
面積
的最小值為
.
（9分）
（3）當
時可設直線的方程為
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
當且僅當
時等號成立. （17分）
當
時，易知
，
，得
，
故當且僅當時四邊形面積有最小值
.
（18分）
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