題目列表(包括答案和解析)
在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求異面直線A1B與B1C所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．
（14分）已知
是底面邊長為1的正四棱柱，高
。求：
⑴異面直線
與
所成的角的大小（結果用反三角函數表示）；
⑵四面體
的體積。
一、填空題（本大題共11題，每小題5分，滿分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相離 7．
8．
9．
10．
11．
二、選擇題（本大題共4題，每小題5分，滿分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答題（本大題滿分75分）
16．（1）證明：易知
，又由
平面
，得
，從而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延長
交圓
于點
，連接
，
，則
，得
或它的補角為異面直線
與
所成的角.
（6分）
由題意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得異面直線 與所成的角為
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2個球為異色球的不同摸法種數為
種，從8個球中摸出2個球的不同摸法種數為
，故所求的概率為
； （6分）
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有
種不同摸法，
（8分）
一種是所摸得的3球中有2個紅球，1個其它顏色球，共有
種不同摸法，
（10分）
一種是所摸得的3球均為紅球，共有
種不同摸法， （12分）
故符合條件的不同摸法共有
種.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相減得
，由
得
，又
，得
，故數列
是一個以為首項，以
為公比的等比數列.
（4分）
從而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，
不存在. （14分）
19．（1）證明：任取
，
，且
，
.
所以
在區間
上為增函數. （5分）
函數在區間
上為減函數.
（6分）
（2）解：因為函數在區間上為增函數，相應的函數值為
，在區間上為減函數，相應的函數值為
，由題意函數的圖像與直線
有兩個不同的交點，故有
，
（8分）
易知
，
分別位于直線
的兩側，由
，得
，故
，
，又
，
兩點的坐標滿足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
當
時，
，
.
因此，
的取值范圍為
.
（17分）
20. 解：（1）設
，易知
，
，
，由題設
，
得
其中
，從而
，
，且
，
又由已知
，得
，
當
時，
，此時
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
當
時，點
為原點，
為
軸，
為
軸，點也為原點，從而點
也為原點，因此點的軌跡
的方程為，它表示以原點為頂點，以
為焦點的拋物線；
（4分）
（2）由題設，可設直線
的方程為
，直線
的方程為
，
，又設
、
，
則由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
則
，
當且僅當
時等號成立，因此四邊形
面積
的最小值為
.
（9分）
（3）當
時可設直線的方程為
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
當且僅當
時等號成立. （17分）
當
時，易知
，
，得
，
故當且僅當時四邊形面積有最小值
.
（18分）
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