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某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率P與日產量x（萬件）之間大體滿足關系：P=（其中c為小于6的正常數）（注：次品率=次品數/生產量，如P=0.1表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量．
（1）試將生產這種儀器的元件每天的盈利額T（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？

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一．選擇題

1~10  BADDA    BCBCD

二．填空題

11．2      12．      13．      14．8        15．45

三．解答題

16．解：因為，所以 ………………………………（1分）

   由得，解得 ………………………………（3分）

  因為，故集合應分為和兩種情況

（1）時，  …………………………………（6分）

（2）時，  ……………………………………（8分）

所以得     …………………………………………………（9分）

若真假，則…………………………………………………………（10分）

若假真，則  ……………………………………………………………（11分）

故實數的取值范圍為或………………………………………（12分）

17．解：（1）由1的解集有且只有一個元素知

        或 ………………………………………（2分）

當時，函數在上遞增，此時不滿足條件2

綜上可知  …………………………………………（3分）

 ……………………………………（6分）

（2）由條件可知……………………………………（7分）

當時，令或

所以或……………………………………………………………（9分）

又時，也有……………………………（11分）

綜上可得數列的變號數為3……………………………………………（12分）

18．解：（1）當時，………………………（1分）

 當時，……………………（2分）

由，知又是周期為4的函數，所以

當時

…………………………（4分）

當時

…………………………（6分）

故當時，函數的解析式為

………………………………（7分）

（2）當時，由，得

或或

解上述兩個不等式組得…………………………………………（10分）

故的解集為…………………（12分）

19．解：（1）當時，，……………………（2分）

當時，，

綜上，日盈利額（萬元）與日產量（萬件）的函數關系為：

…………………………………………………………（4分）

（2）由（1）知，當時，每天的盈利額為0……………………………（6分）

        當時，

當且僅當時取等號

所以當時，，此時……………………………（8分）

            當時，由知

函數在上遞增，，此時……（10分）

綜上，若，則當日產量為3萬件時，可獲得最大利潤

        若，則當日產量為萬件時，可獲得最大利潤…………（12分）

20．解：（1）將點代入得

       因為直線，所以……………………………………（3分）

       （2） ，

當為偶數時，為奇數，……………（5分）

當為奇數時，為偶數，（舍去）

綜上，存在唯一的符合條件…………………………………………………（7分）

（3）證明不等式即證明

     成立，下面用數學歸納法證明

1當時，不等式左邊=，原不等式顯然成立………………………（8分）

2假設時，原不等式成立，即

    當時

     =

，即時，原不等式也成立 ………………（11分）

根據12所得，原不等式對一切自然數都成立 ……………………………（13分）

21．解：（1）由得……………………（1分）

     又的定義域為，所以

當時，

當時，，為減函數

當時，，為增函數………………………（5分）

   所以當時，的單調遞增區間為

                         單調遞減區間為…………………（6分）

（2）由（1）知當時，，遞增無極值………（7分）

所以在處有極值，故且

     因為且，所以在上單調

     當為增區間時，恒成立，則有

    ………………………………………（9分）

當為減區間時，恒成立，則有

無解  ……………………（13分）

由上討論得實數的取值范圍為 …………………………（14分）