Question

某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率P與日產量x（萬件）之間大體滿足關系：P=（其中c為小于6的正常數）（注：次品率=次品數/生產量，如P=0.1表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量．
（1）試將生產這種儀器的元件每天的盈利額T（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

解：（1）當x＞c時，P=，
∴T=x2﹣x1=0
當1≤x≤c時，，
∴=
綜上，日盈利額T（萬元）與日產量x（萬件）的函數關系為：

（2）由（1）知，當x＞c時，每天的盈利額為0
當1≤x≤c時，T==15﹣2[（6﹣x）+]≤15﹣12=3
當且僅當x=3時取等號
所以①當3≤c≤6時，T_max=3，此時x=3
②當1≤c≤3時，由T'==知
函數T=在[1，3]上遞增，T_max=，此時x=c
綜上，若3≤c≤6，則當日產量為3萬件時，可獲得最大利潤
若1≤c≤3，則當日產量為c萬件時，可獲得最大利潤。