Question

某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率P與日產量x（萬件）之間大體滿足關系：P=

1 6-x ，1≤x≤c 2 3 ，     x＞c

（其中c為小于6的正常數）
（注：次品率=次品數/生產量，如P=0.1表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）
已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量．
（1）試將生產這種儀器的元件每天的盈利額T（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

分析：（1）每天的贏利為T=日產量（x）×正品率（1-P）×2-日產量（x）×次品率（P）×1，根據分段函數分段研究，整理即可；
（2）利用函數的導數得出單調性，再求函數的最大值．

解答：解：（1）當x＞c時，P=

2

3

，
∴T=

1

3

x•2-

2

3

x•1=0
當1≤x≤c時，P=

1

6-x

，
∴T=(1-

1

6-x

)•x•2-(

1

6-x

)•x•1=

9x-2x2

6-x

綜上，日盈利額T（萬元）與日產量x（萬件）的函數關系為：
T=

9x-2x2 6-x ，  1≤x≤c  0，     x＞c

（2）由（1）知，當x＞c時，每天的盈利額為0
當1≤x≤c時，T=

9x-2x2

6-x

=15-2[（6-x）+

9

6-x

]≤15-12=3
當且僅當x=3時取等號
所以①當3≤c≤6時，T_max=3，，此時x=3
②當1≤c≤3時，由T′=

2x2-24x+54

(6-x)2

=

2(x-3)(x-9)

(6-x)2

知
函數T=

9x-2x2

6-x

在[1，3]上遞增，Tmax=

9c-2c2

6-c

，此時x=c
綜上，若3≤c≤6，則當日產量為3萬件時，可獲得最大利潤
若1≤c≤3，則當日產量為c萬件時，可獲得最大利潤

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，并且利用導數方法求得函數的最值問題，也考查了分段函數的問題，分類討論思想．是中檔題．