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5、如圖，在棱長為5的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=2，Q是A₁D₁中點，點P是棱C₁D₁上動點，則四面體PQEF的體積（　　）

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段BC₁上運動時，給出下列四個命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②直線AP與平面AC₁所成角的大小不變；
③直線AP與直線A₁D所成角的大小不變；
④二面角P-AD₁-C的大小不變．
其中所有真命題的編號是．

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別是棱BC，CC₁的中點，P是側面BCC₁B₁內一點，若A₁P∥平面AEF，則線段A₁P長度的取值范圍是（　　）

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設AA₁=2．M，N分別是C₁D₁，CC₁的中點．
（1）求異面直線A₁N與MC所成角的余弦值；
（2）設P為線段AD上任意一點，求證：MC⊥PN．

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP=m．
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

；
（2）在線段A₁C₁上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結論．