Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段BC₁上運動時，給出下列四個命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②直線AP與平面AC₁所成角的大小不變；
③直線AP與直線A₁D所成角的大小不變；
④二面角P-AD₁-C的大小不變．
其中所有真命題的編號是

①③④

．

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，底不變，所以體積不變．
②在直線BC₁上運動時，直線AB與平面AC₁所成角和直線AC₁與平面AC₁所成角不相等．
③由A₁D⊥平面ABC₁D₁，知直線AP與A₁D所成的角大小不變．
④P在直線BC₁上運動時，可知AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一點到平面AD₁C的距離相等，所以體積不變，正確．
②P在直線BC₁上運動時，直線AB與平面AC₁所成角和直線AC₁與平面AC₁所成角不相等，所以不正確．
③∵A₁D⊥平面ABC₁D₁，
∴P在直線BC₁上運動時，直線AP與A₁D所成的角大小不變，所以正確；
④當P在直線BC₁上運動時，AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響，所以正確．
故答案為①③④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了空間直線與平面所成角、平面與平面所成角、體積的計算和距離的計算等知識，屬于中檔題．