Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別是棱BC，CC₁的中點，P是側面BCC₁B₁內一點，若A₁P∥平面AEF，則線段A₁P長度的取值范圍是（　　）

• A．[1，

  5

  2

  ]
• B．[

  3 2

  4

  ，

  5

  2

  ]
• C．[

  5

  2

  ，

  2

  ，]
• D．[

  2

  ，

  3

  ]

Answer 1

分析：分別取棱BB₁、B₁C₁的中點M、N，連接MN，易證平面A₁MN∥平面AEF，由題意知點P必在線段MN上，由此可判斷P在M或N處時A₁P最長，位于線段MN中點處時最短，通過解直角三角形即可求得．

解答：解：如下圖所示：
分別取棱BB₁、B₁C₁的中點M、N，連接MN，連接BC₁，
∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四邊形AENA₁為平行四邊形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是側面BCC₁B₁內一點，且A₁P∥平面AEF，
則P必在線段MN上，
在Rt△A₁B₁M中，A1M=

A1B12+B1M2

=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
同理，在Rt△A₁B₁N中，求得A₁N=

5

2

，
∴△A₁MN為等腰三角形，
當P在MN中點O時A₁P⊥MN，此時A₁P最短，P位于M、N處時A₁P最長，
A1O=

A1M2-OM2

=

( 5 2 )2-( 2 4 )2

=

3 2

4

，
A₁M=A₁N=

5

2

，
所以線段A₁P長度的取值范圍是[

3 2

4

，

5

2

]．
故選B．

點評：本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉化能力，屬中檔題，解決本題的關鍵是通過構造平行平面尋找P點位置．