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雅禮中學2008屆高三第八次質檢數學（理科）試卷

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試時量120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合，則是的    （   ）

       A  充分而不必要條件                             B  必要而不充分條件

       C  充要條件                                           D  既不充分也不必要條件

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2．下列函數中周期為1的奇函數是                                            （   ）

試題詳情

A                   B     

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C                        D 

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3．下列不等式中恒成立的個數有                                                                           （   ）

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       ①                                 ②

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       ③             ④

       A  4                        B  3                        C  2                        D  1

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4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數為                      （   ）

       A  600                        B  300                        C  100                        D  60

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5．已知的前n項和                 （   ）

A  67                 B  65                C  6l                  D  56

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6．對于平面直角坐標系內任意兩點（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

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②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命題的個數為                                                    （   ）

A  0                B  1                 C  2             D  3

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7．如圖,設O點在內部,且有,則的面積與的面積的比為                                                              （   ）

試題詳情

A  2             B              

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C  3             D   

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8． 已知點P 是拋物線上一點，設點P到此拋物線準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是                           （   ）

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    A  5              B  4                 C              D

試題詳情

      
   
      
    
    
      
    
      

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      A  
      

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      B  
      

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      C  
      

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      D  
      

      試題詳情
      

      10．在正整數數列中，由1開始依次按如下規則將某些數染成紅色．先染1，再染2個偶數2、4；再染4后面最鄰近的3個連續奇數5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續偶數10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續奇數17、19、21、23、25．按此規則一直染下去，得到一紅色子數列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個紅色子數列中，由1開始的第2003個數是                                                 
（   ）
      A  3844              B  3943                 C 
3945                 D  4006
       
      

      試題詳情
      

      二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
      11．某校為了了解高三年級學生的身體狀況，現用分層抽樣的方法，從全段600名學生中抽取60名進行體檢，如果在抽取的學生中有男生36名，則在高三年級中共有女生      名．
      

      試題詳情
      

      12．，則               
 
      

      試題詳情
      

      13．通過兩個定點 且在軸上截得的弦長等于的圓的方程是      
      

      試題詳情
      

      14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.
      

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      （）當滿足條件           時，m∥β；
      

      試題詳情
      

      （）當滿足條件           時，m⊥β　 （注意：只要填條件中的序號）
      

      試題詳情
      

      15．設是定義在上的偶函數，其圖像關于直線對稱，對任意，，有，，則
      

      試題詳情
      

      （）    
  ；
      

      試題詳情
      

      （）若記，那么         
       
      

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      三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
      16．（本小題滿分12分）
      

      試題詳情
      

      已知△ABC的三邊成等比數列，且， 
      

      試題詳情
      

      （Ⅰ）求；                 

      

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      （Ⅱ）求的面積。
       
      

      試題詳情
      

      17．（本小題滿分12分）
      

      試題詳情
      

      　　設輪船有兩個發動機，輪船有四個發動機，如果半數或半數以上的發動機沒有故障，輪船就能夠安全航行．現設每個發動機發生故障的概率是的函數：（其中為發動機啟動后所經歷的時間,為正常數，每個發動機工作相互獨立）．
      

      試題詳情
      

      （Ⅰ）分別求出輪船安全航行的概率（用表示）；
      

      試題詳情
      

      （Ⅱ）根據時間的變化，比較輪船和輪船哪一個更能安全航行（除發動機發生故障外，不考慮其他因素）．
       
      

      試題詳情
      

      18．（本小題滿分12分）
      

      試題詳情
      

      如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.
      

      試題詳情
      

      （Ⅰ）求二面角的大小；
      

      試題詳情
      

      （Ⅱ）求點到平面的距離；
      

      試題詳情
      

      19．（本小題滿分13分）
      如圖所示，某校把一塊邊長為2a的等邊△ABC的邊角地(如圖)辟為生物園，圖中DE把生物園分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.
      （Ⅰ）設AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函數關系式；?
      （Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，DE的位置應該在哪里?如果DE是參觀線路，即希望它最長，DE的位置又應該在哪里?請給予證明.?
      

      試題詳情
      

       
       
       
       
       
      

      試題詳情
      

      20．（本小題滿分13分）
      

      試題詳情
      

      如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線與軸交于點，線段為橢圓的長軸，已知，且．
      

      試題詳情
      

      （Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；
      

      試題詳情
      

      （Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．
       
       
       
       
      

      試題詳情
      

      21．（本小題滿分13分）
      

      試題詳情
      

      已知點是且
      

      試題詳情
      

      （Ⅰ）求的定義域；
      

      試題詳情
      

      （Ⅱ）求證：；
      

      試題詳情
      

      （Ⅲ）求證：數列{an}前n項和
       
       
       
      

      試題詳情
      

       
      一、選擇題：ADBAA    BCCDB
      二、填空題
      11.;        12． ;         
13． 
      14．（）③⑤  （）②⑤
             15． （）；    （） 0 
      三、解答題：
      16．解：（1）
                                                                      …………5分
      由成等比數列，知不是最大邊
                                                          …………6分
      （2）由余弦定理
      得ac=2                                                                                                        …………11分
      =                                                                          …………12分
      17.解：（Ⅰ）．
      （Ⅱ）．
      1當時，則．此時輪船更安全．
      2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
      3當時，則．此時輪船更安全．
      解：方法一
      （Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
      在△中，，，，
      由余弦定理有
      ，
      所以二面角的大小是.（6分）
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.
      故.                            
…（12分）
       
      19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?
      ∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
      ∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?
      解得AE＝，?
      在△ADE中，由余弦定理:?
      y2＝x2＋?cos60°，?
      ∴y2＝x2＋－2a2
      ∴y＝  (a≤x≤2a)?
      （Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2
      且y＝，設f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?
      當t∈（a2，2a2）時，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?
      f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
      ＝（t1－t2）?，?
      ∵a2＜t1＜t2＜2a2?
      ∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?
      ∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
      ∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數.?
      同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數.?
      又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當t＝2a2時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或4a2時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且ymax＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
       
      20.解：（Ⅰ）∵，∴，
      又∵，∴，
      ∴，
      ∴橢圓的標準方程為．                                     
………（3分）
      當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
      當的斜率不為0時，設方程為，
      代入橢圓方程整理得：．
      ，，．
      則
               
，
      而
      ∴，從而． 
      綜合可知：對于任意的割線，恒有．               
………（8分）
      （Ⅱ），
      即：，
      當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．
      ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）
      21.解：（Ⅰ）由
      故x>0或x≤－1
      f(x)定義域為                         
…………………………（4分）
      （Ⅱ）
      下面使用數學歸納法證明：
      ①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.
      ②假設n=k時成立，
      由
      要證明：
      只需
      只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
      只需1≤4k2+2k
      而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.
      只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.
      于是：
      因此得證.
      綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                    
………………9分
      （Ⅲ）要證明：
      由（2）可知只需證：
      …………（**）
      下面用分析法證明：（**）式成立。
      要使（**）成立，只需證：
      即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
      只需證：2n>1
      而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：
      于是由（**）式可知有：
      因此有：
                          
……………………………………（13分）
       
       
       
      雅禮中學2008屆高三第八次質檢數學（理科）試題參考答案
       
      一、選擇題：ADBAA    BCCDB
      二、填空題
      11.;        12． ;         
13． 
      14．（）③⑤  （）②⑤
             15． （）；    （） 0 
      三、解答題：
      16．解：（1）
                                                                      …………5分
      由成等比數列，知不是最大邊
                                                          …………6分
      （2）由余弦定理
      得ac=2                                                                                                        …………11分
      =                                                                          …………12分
      17.解：（Ⅰ）．
      （Ⅱ）．
      1當時，則．此時輪船更安全．
      2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
      3當時，則．此時輪船更安全．
      解：方法一
      （Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
      在△中，，，，
      由余弦定理有
      ，
      所以二面角的大小是.（6分）
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.
      故.                            
…（12分）
       
      19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?
      ∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
      ∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?
      解得AE＝，?
      在△ADE中，由余弦定理:?
      y2＝x2＋?cos60°，?
      ∴y2＝x2＋－2a2
      ∴y＝  (a≤x≤2a)?
      （Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2
      且y＝，設f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?
      當t∈（a2，2a2）時，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?
      f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
      ＝（t1－t2）?，?
      ∵a2＜t1＜t2＜2a2?
      ∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?
      ∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
      ∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數.?
      同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數.?
      又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當t＝2a2時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或4a2時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且ymax＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
       
      20.解：（Ⅰ）∵，∴，
      又∵，∴，
      ∴，
      ∴橢圓的標準方程為．  
                                   ………（3分）
      當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
      當的斜率不為0時，設
		
      

      

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