題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）有一問題，在半小時內，甲能解決它的概率是0.5，乙能解決它的概率是
，
如果兩人都試圖獨立地在半小時內解決它，計算：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（1）兩人都未解決的概率；
（2）問題得到解決的概率。
（本小題滿分13分） 已知
是等比數列,
；
是等差數列,
,
.
(1) 求數列、的通項公式；
(2) 設
+…+
,
…
,其中
,…試比較
與
的大小,并證明你的結論.
（本小題滿分13分） 現有一批貨物由海上從A地運往B地，已知貨船的最大航行速度為35海里/小時，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費用與輪船速度的平方成正比（比例系數為0.6），其余費用為每小時960元.
（1）把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時)的函數；
（2）為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？
（本小題滿分13分）
如圖，ABCD的邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，g和F式l上的兩個不同點，且EA=ED，FB=FC， 
和
是平面ABCD內的兩點，
和都與平面ABCD垂直，
（Ⅰ）證明：直線垂直且平分線段AD：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面
體ABCDEF的體積。
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.
; 12． 
;
13． 
14．（
）③⑤ （
）②⑤
15． （）
； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）
…………5分
由
成等比數列，知
不是最大邊
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
=
…………12分
17.解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）
．
1當
時，則
．此時輪船
更安全．
2當
時，則
．此時輪船和輪船
一樣安全．
3當
時，則
．此時輪船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取
的中點
，連結
，由
知
，又
，故
，所以
即為二面角
的平面角.
在△
中，
，
，
，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是
.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道
平面，故平面
平面，故在平面
上的射影一定在直線上，所以點到平面
的距離即為△的邊上的高.
故
.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
∴
x?AEsin60°＝?
（
解得AE＝
，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋
?cos60°，?
∴y2＝x2＋
－
∴y＝
(a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝
，設f（t）＝t＋
（a2≤t≤
當t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋
）－（t2＋
）
＝（t1－t2）?
，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（
a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或
a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
20.解：（Ⅰ）∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
∴橢圓的標準方程為
．
………（3分）
當
的斜率為0時，顯然
=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設方程為
，
代入橢圓方程整理得：
．
，
，
．
則
，
而
∴
，從而．
綜合可知：對于任意的割線
，恒有．
………（8分）
（Ⅱ）
，
即：
，
當且僅當
，即
（此時適合于
的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是
． ………………………………（13分）
21.解：（Ⅰ）由
故x>0或x≤－1
f(x)定義域為
…………………………（4分）
（Ⅱ）
下面使用數學歸納法證明：
①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.
②假設n=k時
成立，
由
要證明：
只需
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k
而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.
只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.
于是：
因此
得證.
綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立. ………………9分
（Ⅲ）要證明：
由（2）可知只需證：
…………（**）
下面用分析法證明：（**）式成立。
要使（**）成立，只需證：
即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
只需證：2n>1
而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：
于是由（**）式可知有：
因此有：
……………………………………（13分）
雅禮中學2008屆高三第八次質檢數學（理科）試題參考答案
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.; 12． ;
13．
14．（）③⑤ （）②⑤
15． （）； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）
…………5分
由成等比數列，知不是最大邊
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
= …………12分
17.解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
1當時，則．此時輪船更安全．
2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
3當時，則．此時輪船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
在△中，，，，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.
故.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
∴x?AEsin60°＝?（
解得AE＝，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋?cos60°，?
∴y2＝x2＋－
∴y＝ (a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝，設f（t）＝t＋（a2≤t≤
當t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
＝（t1－t2）?，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
20.解：（Ⅰ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∴橢圓的標準方程為．
………（3分）
當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設
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