題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）如圖是某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖，俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，N是BC的中點，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.
（1）求該幾何體的體積；
（2）求證：AN∥平面CME；
（3）求證：平面BDE⊥平面BCD
（本小題滿分13分）如圖是某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖，俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，N是BC的中點，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.
（1）求該幾何體的體積；
（2）求證：AN∥平面CME；
（3）求證：平面BDE⊥平面BCD
（本小題滿分13分
）
某商場為吸引顧客消費推出一
項優惠活動．活動規則如下：消費額每滿100元可轉動如圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在A區域返券60元；停在B區域返券30元；停在C區域不返券．例如：消費218元，可轉動轉盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（I）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；
（II）若某位顧客恰好消費280元，并按規則參與了活動，他獲得返券的金額記為X（元）．
求隨機變量X的分布列和數學期望.
（本小題滿分13分）
（本小題滿分12分）某地方政府準備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3000平方米，其中場地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個矩形區域將鋪設塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同），塑膠運動場地占地面積為
平方米.
（1）分別寫出用
表示
和用表示的函數關系式（寫出函數定義域）；
（2）怎樣設計能使S取得最大值，最大值為多少？
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.
; 12． 
;
13． 
14．（
）③⑤ （
）②⑤
15． （）
； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）
…………5分
由
成等比數列，知
不是最大邊
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
=
…………12分
17.解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）
．
1當
時，則
．此時輪船
更安全．
2當
時，則
．此時輪船和輪船
一樣安全．
3當
時，則
．此時輪船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取
的中點
，連結
，由
知
，又
，故
，所以
即為二面角
的平面角.
在△
中，
，
，
，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是
.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道
平面，故平面
平面，故在平面
上的射影一定在直線上，所以點到平面
的距離即為△的邊上的高.
故
.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
∴
x?AEsin60°＝?
（
解得AE＝
，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋
?cos60°，?
∴y2＝x2＋
－
∴y＝
(a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝
，設f（t）＝t＋
（a2≤t≤
當t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋
）－（t2＋
）
＝（t1－t2）?
，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（
a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或
a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
20.解：（Ⅰ）∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
∴橢圓的標準方程為
．
………（3分）
當
的斜率為0時，顯然
=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設方程為
，
代入橢圓方程整理得：
．
，
，
．
則
，
而
∴
，從而．
綜合可知：對于任意的割線
，恒有．
………（8分）
（Ⅱ）
，
即：
，
當且僅當
，即
（此時適合于
的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是
． ………………………………（13分）
21.解：（Ⅰ）由
故x>0或x≤－1
f(x)定義域為
…………………………（4分）
（Ⅱ）
下面使用數學歸納法證明：
①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.
②假設n=k時
成立，
由
要證明：
只需
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k
而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.
只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.
于是：
因此
得證.
綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立. ………………9分
（Ⅲ）要證明：
由（2）可知只需證：
…………（**）
下面用分析法證明：（**）式成立。
要使（**）成立，只需證：
即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
只需證：2n>1
而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：
于是由（**）式可知有：
因此有：
……………………………………（13分）
雅禮中學2008屆高三第八次質檢數學（理科）試題參考答案
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.; 12． ;
13．
14．（）③⑤ （）②⑤
15． （）； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）
…………5分
由成等比數列，知不是最大邊
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
= …………12分
17.解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
1當時，則．此時輪船更安全．
2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
3當時，則．此時輪船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
在△中，，，，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.
故.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
∴x?AEsin60°＝?（
解得AE＝，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋?cos60°，?
∴y2＝x2＋－
∴y＝ (a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝，設f（t）＝t＋（a2≤t≤
當t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
＝（t1－t2）?，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
20.解：（Ⅰ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∴橢圓的標準方程為．
………（3分）
當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設
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