資陽市2008―2009學年度高中三年級第二次高考模擬考試數學（理）
本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分． 第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁．全卷共150分，考試時間為120分鐘． （考試時間
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上．
3．考試結束時，將本試卷和答題卡一并收回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
.
如果事件A、B相互獨立，那么
.
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
.
球的表面積
，其中R表示球的半徑.
球的體積
，其中R表示球的半徑.
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目的要求的．
1．已知i為虛數單位，集合
，
，且
，則實數m的值為
（A）±2 （B）±1 （C）-1 （D）1
2．若
，則下列不等式不成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．函數
是
（A）最小正周期是π的偶函數 （B）最小正周期是π的奇函數
（C）最小正周期是2π的偶函數 （D）最小正周期是2π的奇函數
4．已知直線mÌ平面α，條件甲：直線l∥α，條件乙：l∥m，則甲是乙的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件
5．已知隨機變量ξ的概率密度函數為
，則下列結論錯誤的是
（A）
（B）隨機變量ξ的期望與標準差均為1
（C）
的漸近線方程為
（D）在區間
上是減函數
6．在右邊的表格中，如果每格填上一個數后，每一橫行的數成等差數列，每一縱列的數成等比數列，那么
的值為
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
7．在
的展開式中，常數項等于
（A）70 （B）38 （C）-32 （D）-38
8．四面體ABCD的外接球球心在CD上，且
，
，在其外接球面上A、B兩點間的球面距離是
（A）
（B）
（C）
（D）
9．已知向量
，向量
，曲線
上一點P到
的距離為6，Q為PF的中點，O為坐標原點，則
（A）5 （B）1 （C）10或2 （D）5或1
10．某班級要從6名男生、4名女生中選派6人參加某次社區服務，要求女生甲、乙要么都參加、要么都不參加，且至少一名女生參加，那么不同的選派方案總數為
（A）117 （B）107 （C）97 （D）82
11．已知點
，O是坐標原點，點
的坐標滿足
設z為
在
上的投影，則z的取值范圍是
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知函數
．規定：給定一個實數
，賦值
，若x1≤244，則繼續賦值
，…，以此類推，若
≤244，則
，否則停止賦值．若最后得到的賦值結果為
，則稱為賦值了n次
．如果賦值k次后該過程停止，那么
的取值范圍是
（A）
（B）
（C）
（D）
資陽市2008―2009學年度高中三年級第二次高考模擬考試
數 學（理工農醫類）
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
題號
二
三
總分
總分人
17
18
19
20
21
22
得分
注意事項：
1．第Ⅱ卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上．
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分． 把答案直接填在題目中的橫線上．
13．已知函數
在R上連續，則
______．
14．圖1是函數
的部分圖象，則
_______．
15．如圖2，已知A、D、B、C分別為過拋物線
焦點F的直線與該拋物線和圓
的交點，則
__________．
16．設
，函數
，其中a∈R，常數m∈N*，且
．如果不等式
在區間有解，則實數a的取值范圍是________________.
三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，已知角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且直線l1：
與直線l2：
互相平行（其中
）．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
，求△ABC面積的最大值．
18．（本小題滿分12分）
一個口袋中裝有分別標記著數字1、2、3、4的4個球，從這只口袋中每次取出1個球，取出后再放回，連續取三次，設三次取出的球中數字最大的數為隨機變量ξ．
（Ⅰ）求ξ=3時的概率；
（Ⅱ）求ξ的概率分布列及數學期望．
19．（本小題滿分12分）
如圖3，已知斜三棱柱ABC－A1B
的菱形，∠ACC1為銳角，側面ABB
（Ⅰ）求證：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求A1到平面ABC的距離；
（Ⅲ）求二面角B－AC－C1的余弦值．
20．（本小題滿分12分）
設向量
，
（
），函數
在
上的最小值與最大值的和為
；數列
的前n項和
滿足：
．
（Ⅰ）求和
的表達式；
（Ⅱ）令
，試問：在數列
中，是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有
成立？證明你的結論．
21．（本小題滿分12分）
如圖4，已知橢圓C：
的左、右焦點分別是F1、F2，M是橢圓C的上頂點，橢圓C的右準線與x軸交于點N，且
，
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若⊙O是以F
與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B．當
，且滿足
時，求△AOB面積S的取值范圍．
 |
22．（本小題滿分14分）
已知函數
．
（Ⅰ）若函數在區間
（其中
）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當
時，不等式
恒成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：
．
資陽市2008―2009學年度高中三年級第二次高考模擬考試
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．
1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．
13．3； 14．-4； 15．1； 16．
．
三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．解：（Ⅰ）∵l1∥l2，
，
∴
，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
∴
，
∴
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）∵
且
，
∴
，∴
，當且僅當
時取＂＝＂．??????????? 8分
∵
，∴
，?????????????????????????????????????????? 10分
∴
，當且僅當時取＂＝＂．
故△ABC面積取最大值為
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個球中數字最大者為3．
①三次取球均出現最大數字為3的概率
；??????????????????????????????????????? 1分
②三次取球中有2次出現最大數字3的概率
；???????????????????? 3分
③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率
．????????????????? 5分
∴P(ξ=3)=P1＋P2＋P3=
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）在ξ＝k時, 利用（Ⅰ）的原理可知：
（k=1、2、3、4）．???????? 8分
則ξ的概率分布列為：
ξ
1
2
3
4
P
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
∴ξ的數學期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分
19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA
∵側面ABB
，知C到AA1的距離為，
，∴△AA
∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．???????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則
，
，
，
，
．則
，
，
，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
設
是平面ABC的一個法向量，
則
即
令
，則
．設A1到平面ABC的距離為d．
∴
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC1的一個法向量
． 9分
∴
．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴二面角B－AC－C1的余弦值是
．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：（Ⅰ）
，對稱軸方程為
，故函數
在[0,1]上為增函數，∴
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
當
時，
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
∵
①
∴
②
②-①得
，即
，?????????????????????????????????????????????????? 4分
則
，∴數列
是以
為首項，
為公比的等比數列．
∴
，∴
．?????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）∵
，∴
．
∵
???????????????????????????????????????????????????????? 7分
可知：當
時，
；當
時，
；當
時，
．
即
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
可知存在正整數
或6，使得對于任意的正整數n，都有
成立．???????????? 12分
21．解：（Ⅰ）設
，
，
，
，
，
，
，
，
．∵
，
∴
，∴
，∴
．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
則N(c，0)，M(0，c)，所以
，
∴
，則
，
．
∴橢圓的方程為
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則
，即
,????????????????????????????????? 5分
由
消去y得
．
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設
，
，
∴
，
，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
∴
，
由
，
，
．?????????????????? 8分
．???????????????????????????????????????? 9分
（或
）．
設
，則
，
，
，
令
，則
，
∴
在時單調遞增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴S關于μ在區間
單調遞增，
，
，
∴
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
（或
，
∴S關于u在區間單調遞增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∵，，
．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．解：（Ⅰ）因為
，
，則
， 1分
當
時，
；當
時，
．
∴在
上單調遞增；在
上單調遞減，
∴函數在
處取得極大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
∵函數在區間
（其中
）上存在極值，
∴
解得
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）不等式
，即為
，?????????????????????????????????????????? 4分
記
，∴
，??????? 5分
令
，則
，∵
，∴
，
在
上遞增，
∴
，從而
，故
在上也單調遞增，
∴
，
∴
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
恒成立，即
，??????????? 8分
令
則
，????????????????????????????????????????????????????? 9分
∴
，
，
，
………
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
疊加得：
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
則
，
∴
.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分
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