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如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，點E是PD上的點，且DE=λEP（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）當λ=1時，求三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比．
分析：（Ⅰ）先證明AC⊥平面PAB，利用線面垂直的性質，可得PB⊥AC；
（Ⅱ）連接BD交AC于O，連接OE，根據PB∥平面ACE，可得PB∥OE，利用O為BD的中點，可得E為PD的中點，故可求λ的值；（Ⅲ）當λ=1時，求出三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的底面積之比與高之比，可得三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比．
解答：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC…（1分）
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，∴AC⊥平面PAB，…（3分）
又∵PB?平面PAB，∴PB⊥AC．…4 分
（Ⅱ）解：連接BD交AC于O，連接OE，

∵PB∥平面ACE，平面ACE∩平面PBD=OE，∴PB∥OE，…6 分
又∵O為BD的中點，∴E為PD的中點，故λ=1．…8 分
（Ⅲ）解：當λ=1時，三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的底面積之比是1：2，高之比也是1：2，
故三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比是1：4…12 分
點評：本題流程線面垂直，考查線面平行，考查棱錐的體積，掌握線面垂直、平行的判定是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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同步練習冊答案
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