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設x，y，z∈R+，求證：
2x2
y+z
+
2y2
z+x
+
2z2
x+y
≥x+y+z．
分析：由基本不等式可得  
2x2
y+z
+
y+z
2
 ≥ 2x   ①，
2y2
x+z
+
x+z
2
 ≥  2y ②，
2z2
x+y
+
x+y
2
≥  2z   ③，
 把 ①②③相加可得 即可證得結論．
解答：證明：∵x，y，z∈R+，
∴由基本不等式可得  
2x2
y+z
+
y+z
2
 ≥ 2x①，
2y2
x+z
+
x+z
2
 ≥  2y ②，
2z2
x+y
+
x+y
2
 ≥  2z③．
把 ①②③相加可得
2x2
y+z
+
2y2
z+x
+
2z2
x+y
+ x + y + z≥2x+2y+2z，∴
2x2
y+z
+
2y2
z+x
+
2z2
x+y
≥ x + y + z成立．
點評：本題考查用綜合法證明不等式，基本不等式的應用，得到①②③這三個式子，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設x、y、z∈R+且3x=4y=6z
（1）求使2x=py的p的值 （2）求與（1）中所求P的差最小的整數
（3）求證：
1
z
-
1
x
=
1
2y
（4）比較3x、4y、6z的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）當z=1，|x+y|+|y+1|＞2時，求x的取值范圍；
（II）當x＞0，y＞0，z＞0時，求u=
x2
x+1
+
2y2
y+2
+
3z2
z+3
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x，y，z∈R+，且3x=4y=6z．
（1）求證：
1
z
-
1
x
=
1
2y
；  
（2）比較3x，4y，6z的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）解不等式|2x-1|＜|x|+1
（2）設x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，試求x-2y+2z的最小值及相應x，y，z的值．

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同步練習冊答案
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