Question

設x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）當z=1，|x+y|+|y+1|＞2時，求x的取值范圍；
（II）當x＞0，y＞0，z＞0時，求u=

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用條件化二元為一元，再解不等式，即可求x的取值范圍；
（II）利用柯西不等式，即可求得u的最小值．

解答：解：（I）當z=1時，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即y=

-2-x

2

∴|x+y|+|y+1|＞2可化簡|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0時，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2時，-x+2+x＞4不成立；
x＞2時，x-2+x＞4，∴x＞3
綜上知，x＜-1或x＞3；
（II）∵（

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z）²
∴（

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z）²，
∴

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

≥

1

15

∴u≥

1

15

，當且僅當

x

x+1

=

y

y+2

=

z

z+3

，又x+2y+3z=1，即x=

1

14

，y=

1

7

，z=

3

14

時，u_min=

1

15

．

點評：本題考查解不等式，考查函數的最值，正確運用柯西不等式是關鍵．