Question

設x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）當z=1，|x+y|+|y+1|＞2時，求x的取值范圍；
（II）當x＞0，y＞0，z＞0時，求的最小值．

Answer 1

解：（I）當z=1時，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即
∴|x+y|+|y+1|＞2可化簡|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0時，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2時，-x+2+x＞4不成立；
x＞2時，x-2+x＞4，∴x＞3
綜上知，x＜-1或x＞3；
（II）∵（）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z）²
∴（）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z）²，
∴
∴u，當且僅當，又x+2y+3z=1，即x=，y=，z=時，u_min=．
分析：（I）利用條件化二元為一元，再解不等式，即可求x的取值范圍；
（II）利用柯西不等式，即可求得u的最小值．
點評：本題考查解不等式，考查函數的最值，正確運用柯西不等式是關鍵．