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求證：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
分析：不等式的左邊即3+
b
a
+ 
a
b
+
c
a
+
a
c
+
c
b
+
b
c
，由均值不等式證得此式大于或等于9．
解答：證明：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=1+
b
a
+
c
a
+
a
b
+1+
c
b
+
a
c
+
b
c
+1 
=3+
b
a
+ 
a
b
+
c
a
+
a
c
+
c
b
+
b
c
．
由均值不等式得
b
a
+
a
b
≥2，
c
a
+
a
c
≥2，
c
b
+
b
c
≥2，
故有 3+
b
a
+ 
a
b
+
c
a
+
a
c
+
c
b
+
b
c
≥3+2+2+2=9，當且僅當正數a、b、c 全部相等時，等號成立．
故 （a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9 成立．
點評：本題考查應用基本不等式證明不等式，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

證明下列不等式．
（1）求證：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：
n+2
-
n+1
＜
n+1
-
n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

求證：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（數學公式+數學公式+數學公式）≥9．

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證明下列不等式．
（1）求證：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（）≥9．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：．

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