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精英家教網如圖，已知E、F為平面上的兩個定點|EF|=6，|FG|=10，且2
EH
=
EG
，
HP
•
GE
=0（G為動點，P是HP和GF的交點）．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系求出點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P的軌跡上存在兩個不同的點A、B，且線段AB的中垂線與直線EF相交于一點C，證明|OC|＜
9
5
（O為EF的中點）．
分析：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．由題設2
EH
=
EG
，
HP
•
EG
=0，|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，0）．（x1-x0）2+y12=（x2-x0）2+y22．由A、B在軌跡上，知
x12
25
+
y12
16
=1，
x22
25
+
y22
16
=1．由此入手能夠證明|OC|＜
9
5
．
解答：解：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．
由題設2
EH
=
EG
，
HP
•
EG
=0，
∴|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．
∴點P是以E、F為焦點、長軸長為10的橢圓．
故點P的軌跡方程是
x2
25
+
y2
16
=1．…（4分）
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，0）．
∴x1≠x2，且|CA|=|CB|，即（x1-x0）2+y12=（x2-x0）2+y22．
又A、B在軌跡上，∴
x12
25
+
y12
16
=1，
x22
25
+
y22
16
=1．
即y12=16-
16
25
x12，y22=16-
16
25
x22．
代入整理，得2(x2-x1)•x0=
9
25
(x22-x12)．
∵x1≠x2，∴x0=
9(x1+x2)
50
．
∵-5≤x1≤5，-5≤x2≤5，∴-10≤x1+x2≤10．
∵x1≠x2，∴-10＜x1+x2＜10．
∴-
9
5
＜x0＜
9
5
，即|OC|＜
9
5
．…（13分）
點評：本題考查建立適當的平面直角坐標系求出點P的軌跡方程，證明|OC|＜
9
5
．解題時要認真審題，恰當地建立平面直角坐標系，靈活運用圓錐曲線的性質，合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2004•朝陽區一模）如圖，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分別為AB、PD的中點，過AE、AF的平面交PC于點H，二面角P-CD-B為45°，PA=a．
（Ⅰ）求證：AF∥EH；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）求多面體ECDAHF的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求證：∥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體的體積.

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如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求證：∥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體的體積.

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省汕頭市高三四校聯考數學理卷 題型：解答題

.(本小題滿分14分)

如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求證：∥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體的體積.

 

 

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