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.(本小題滿分14分)
如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求證：∥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體的體積.

（Ⅰ）證明：在正方體中，∵平面∥平面
平面平面，平面平面
∴∥.-------------------------------------3分
（Ⅱ）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系，則有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴，
設平面的法向量為
則由，和，得，
取，得，，∴ ------------------------------6分
又平面的法向量為（0，0，2）
故；
∴截面與底面所成二面角的余弦值為. ------------------9分
（Ⅲ）解：設所求幾何體的體積為V，
∵～，，，
∴，，
∴，
--------------------------11分
故V_棱臺

∴V=V_正方體-V_棱臺_.------------------14分

解析

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