Question

如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求證：∥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體的體積.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析， （Ⅱ）所成二面角的余弦值為 ，（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）證明：在正方體中，∵平面∥平面

      平面平面，平面平面

      ∴∥.-------------------------------------3分

 （Ⅱ）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD₁為

x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），

∴，

      設平面的法向量為

     則由，和，得，

     取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量為（0，0，2）

故；

    ∴截面與底面所成二面角的余弦值為. ------------------9分

（Ⅲ）解：設所求幾何體的體積為V，

        ∵～，，，

        ∴，，

       ∴，

--------------------------11分

故V_棱臺

                        

     ∴V=V_正方體-V_棱臺. ------------------14分