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如圖，設P是單位圓和x軸正半軸的交點，M、N是單位圓上的兩點，O是坐標原點，∠POM=
π
3
，∠PON=α，α∈[0，π）
（1）求點M的坐標；
（2）設f（α）=
OM
•
ON
，求f（α）的取值范圍．
分析：（1）設出M坐標利用三角函數的定義直接求出M即可．
（2）由題意推出N利用f（α）=
OM
•
ON
，求出函數的表達式，結合角的范圍，求出函數的取值范圍．
解答：（1）解：設M（x，y），根據三角函數的定義得，
x=cos
π
3
=
1
2
，y=sin
π
3
=
3
2
，∴M（
1
2
，
3
2
）．
（2）N是單位圓上的點，∠PON=α，α∈[0，π），所以N（cosα，sinα），
∴
OM
=(
1
2
，
3
2
)，
ON
=（cosα，sinα）．
∴f（α）=
OM
•
ON
=
1
2
cosα+
3
2
sinα=cos（α-
π
3
）
因為α∈[0，π），∴-
π
3
≤α-
π
3
＜
2π
3
，∴-
1
2
＜cos（α-
π
3
）≤1，
f（α）的取值范圍是（-
1
2
，1]．
點評：本題考查三角函數的定義，向量的數量積，三角函數的化簡求值，考查計算能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，設P是單位圓和x軸正半軸的交點，M、N是單位圓上的兩點，O是坐標原點，∠POM=
π
3
，∠PON=α，α∈[0，π），f(α)=
OM
•
ON
，則f（a）的范圍為（　　）
A、(-
1
2
，1]
B、[-
1
2
，
1
2
)
C、[-
1
2
，1)
D、(
1
2
，1)

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，設P是單位圓和x軸正半軸的交點，M、N是單位圓上的兩點，O是坐標原點，∠POM=
π
3
，∠PON=α，α∈[0，π]，f(α)=|
OM
+
ON
|，則f（a）的范圍為
 
．

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科目：高中數學 來源：2011年上海市閔行區高考數學三模試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

如圖，設P是單位圓和x軸正半軸的交點，M、N是單位圓上的兩點，O是坐標原點，，∠PON=α，α∈[0，π]，，則f（a）的范圍為    ．

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科目：高中數學 來源：2011年上海市閔行區高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，設P是單位圓和x軸正半軸的交點，M、N是單位圓上的兩點，O是坐標原點，，∠PON=α，α∈[0，π]，，則f（a）的范圍為    ．

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