Question

如圖，設P是單位圓和x軸正半軸的交點，M、N是單位圓上的兩點，O是坐標原點，∠POM=

π

3

，∠PON=α，α∈[0，π]，f(α)=|

OM

+

ON

|，則f（a）的范圍為

 

．

Answer 1

分析：根據M、N是單位圓上的兩點，∠POM=

π

3

，∠PON=α，以及三角函數的定義寫出點N，M的坐標，求出

OM

、

ON

，并代入 f(α)=|

OM

+

ON

|，利用三角恒等變形，化簡為sin（α+

π

6

），要求f(α)=|

OM

+

ON

|的范圍，只需求sin（α+

π

6

），在區間[0，π]上的最值即可．

解答：解：∵M、N是單位圓上的兩點，∠POM=

π

3

，∠PON=α，
∴M（

1

2

，

3

2

），N（cosα，sinα），
∴

OM

=（

1

2

，

3

2

），

ON

=（cosα，sinα），
∴f(α)=|

OM

+

ON

|=

( 1 2 +cosα)2+( 3 2 +sinα)2

=

2+2sin(α+ π 6 )

∵α∈[0，π]，
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（α+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
∴f（α）∈[1，2]
故答案為[1，2]．

點評：此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應用，同時考查了三角函數的定義和向量的數量積的坐標運算，三角函數在區間上的最值問題，體現了轉化的思想，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．