Question

如圖，已知P是△ABC邊BC上一點(diǎn)，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．

Answer 1

分析：根據(jù)軸對(duì)稱，角平分線和等邊三角形的判定與性質(zhì)，作C關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′、BC′、PC′，求得BA平分∠C′BC，C′A平分∠MC′P，從而求得∠ACB的大小．

解答：解：作C關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)C′，
連接AC′、BC′、PC′，
則有PC′=PC=2PB，
∠APC′=∠APC=60°
可證△BC′P為直角三角形（延長(zhǎng)PB到D，
使BD=BP，則PD=PC′，
又∠C′PB=60°，
則△C′PD是等邊三角形，
由三線合一性質(zhì)有C′B⊥BP，∠C′BP=90°，
因?yàn)椤螦BC=45°，所以∠C′BA=45°=∠ABC，
所以BA平分∠C′BC
所以A到BC′的距離=A到BC的距離
又因?yàn)椤螦PC′=∠APC，所以PA平分∠C′PC
所以A到PC′距離=A到PC（即BC）的距離
所以A到BC′的距離=A到PC′的距離
所以A是角平分線上的點(diǎn)，即C′A平分∠MC′P
所以∠AC′P=

1

2

∠MC′P=75°=∠ACB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，有一定難度，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．