Question

1．太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動．當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日”．據報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日．已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑見下表．則下列判斷正確的是（　　）

	地球	火星	木星	土星	天王星	海王星
軌道半徑（AU）	1.0	1.5	5.2	9.5	19	30

• A． 各地外行星每年都會出現沖日現象
• B． 在2015年內一定會出現木星沖日
• C． 地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短
• D． 天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半

Answer 1

分析 行星圍繞太陽做勻速圓周運動，根據開普勒第三定律，其軌道半徑的三次方與周期T的平方的比值都相等；從一次行星沖日到下一次行星沖日，為地球多轉動一周的時間．

解答 解：根據開普勒第三定律，有：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{R}_{地}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$；
解得：T=$\sqrt{{（\frac{R}{{R}_{地}}）}^{3}}{T}_{地}$；
故T_火=$\sqrt{{1.5}^{3}}年$=1.84年；T_木=$\sqrt{{5.2}^{3}}年$=11.86年；T_土=$\sqrt{{9.5}^{3}}年$=29.28年；T_天=$\sqrt{19{\;}^{3}}年$=82.82年；T_海=$\sqrt{{30}^{3}}年$=164.32年；
如果兩次行星沖日時間間隔為t年，則地球多轉動一周，有：
2π=（$\frac{2π}{{T}_{地}}-\frac{2π}{{T}_{0}}$）t
解得：
t=$\frac{{T}_{0}{T}_{地}}{{T}_{0}-{T}_{地}}$
故海王星相鄰兩次沖日的時間間隔為：t_海=$\frac{164.32×1}{164.32-1}=1.006$年
故天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為：t_天=$\frac{82.82×1}{82.82-1}$≈1.01年；
土星相鄰兩次沖日的時間間隔為：t_土=$\frac{29.28×1}{29.28-1}$≈1.04年；
木星相鄰兩次沖日的時間間隔為：${t}_{木}=\frac{11.86×1}{11.86-1}=1.09$年
A、各地外行星不是每年都會出現沖日現象，故A錯誤；
B、木星繞太陽運動的周期約為11.86年，相鄰兩次沖日的時間間隔為1.09年，2014年1月6日木星沖日，在2015年內一定會出現木星沖日．故B正確；
C、由以上的分析可知，地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短；故C正確；
D、天王星相鄰兩次沖日的時間間隔是1.01年，而土星為1.04年，故D錯誤；
故選：BC

點評 本題關鍵是結合開普勒第三定律分析（也可以運用萬有引力等于向心力列式推導出），知道相鄰的兩次行星沖日的時間中地球多轉動一周．