Question

11．如圖所示，在xOy平面內，有一個圓形區域的直徑AB與x軸重合，圓心O′的坐標為（2a，0），其半徑為a，該區域內無磁場．在y軸和直線x=3a之間的其他區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸上某點射入磁場．不計粒子重力．則（　　）

• A． 若粒子的初速度方向與y軸正向的夾角為60°，且粒子不經過圓形區域就能到達B點，粒子的初速度大小為$\frac{2qBa}{m}$
• B． 若粒子的初速度方向與y軸正向的夾角為60°，且粒子不經過圓形區域就能到達B點，粒子的初速度大小為$\frac{3qBa}{m}$
• C． 若粒子的初速度方向與y軸正向的夾角為60°，在磁場中運動的時間為△t=$\frac{πm}{3qB}$，且粒子也能到達B點，粒子的初速度大小為$\frac{3qBa}{2m}$
• D． 若粒子的初速度方向與y軸正向的夾角為60°，在磁場中運動的時間為△t=$\frac{πm}{3qB}$，且粒子也能到達B點，粒子的初速度大小為$\frac{\sqrt{3}qBa}{2m}$

Answer 1

分析 AB、若粒子不經過圓形區域就能到達B點，故粒子到達B點時速度豎直向下，圓心必在x軸正半軸上，由幾何關系確定半徑，然后根據牛頓第二定律確定粒子的初速度；
CD、若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，粒子到達B點的速度與x軸夾角β=30°，由幾何知識確定半徑，由牛頓第二定律求粒子的初速度大�。�

解答 解：AB、粒子不經過圓形區域就能到達B點，故粒子到達B點時速度豎直向下，圓心必在x軸正半軸上，設粒子做圓周運動的半徑為r₁，如圖，由幾何關系得：
  r₁sin30°=3a-r₁
又qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：v₁=$\frac{2qBa}{m}$，故A正確，B錯誤．
CD、粒子在磁場中的運動周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，故粒子在磁場中的運動軌跡的圓心角為為：α=$\frac{t}{T}$×360°=60°，粒子到達B點的速度與x軸夾角β=30°．
設粒子做圓周運動的半徑為r₂，由幾何關系得：3a=2r₂sin30°+2acos²30°
又 qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：v₂=$\frac{3qBa}{2m}$．故C正確，D錯誤．
故選：AC．

點評 解決本題的突破口是知道以直徑為斜邊的內接圓一定是直角三角形從而確定出D點的半徑過A點，然后由幾何關系求出圓周運動的半徑從而可以順利求解速度大�。�