Question

兩個質量不計的彈簧將一金屬塊支在箱子的上頂板與下底板之間，箱子只能沿豎直方向運動，如圖2所示.兩彈簧原長均為x₀=0.80m，勁度系數均為k=60N/m.當箱以2.0m/s²的加速度勻減速上升時，上彈簧的長度為x_１=0.70m，下彈簧的長度為x_２=0.60m.若上頂板壓力是下底板壓力的四分之一，試判斷箱的運動情況.（g取10m/s²）

Answer 1

見試題分析

【試題分析】

設箱的質量為m.當箱以2m/s²的加速度勻減速上升時，根據胡克定律可得，上彈簧中的彈力為
F_１=k（x_０-x_１）=60×（0.80-0.70）N=6.0N， 下彈簧中的彈力為F_２=k（x_０-x_２）=60×（0.80-0.60）N=12.0N，  此時箱受重力mg、上彈簧向下的彈力F_１和下彈簧向上的彈力F_２作用，如圖3所示.

規定豎直向下為正方向，由題知a=2.0m/s²，對箱由牛頓第二定律得
mg+F_１-F_２=ma
所以m=kg=0.75kg.
箱運動過程兩彈簧總長x_總=x_１+x_２=0.70m+0.60m=1.30m保持不變.
當上頂板壓力是下板壓力的四分之一時，設上彈簧的壓縮量為Δx_１，下彈簧的壓縮量為Δx_２，則由題知Δx_２=4Δx_１，且2x_０-Δx_１-Δx_２=x_總，即2x_０-Δx_１-4Δx_１=x_總，解之可得Δx_１=0.06m.
根據胡克定律可得，上彈簧中的彈力為F_１′=kΔx_１=60×0.06N=3.6N，下彈簧中的彈力為F_２′=4F_１′=14.4N，  此時箱受重力mg、上彈簧向下的彈力F_１′和下彈簧向上的彈力F_２′作用，如圖4所示.

規定豎直向上為正方向，由牛頓第二定律得
F_２′-mg-F_１′=ma′
所以a′=（F_２′-mg-F_１′）/m=（14.4-0.75×10-3.6）/0.75=4.4（m/s²）.
可知箱的加速度為4.4m/s²，方向和規定正方向相同即豎直向上，所以箱以4.4m/s²的加速度勻加速上升或勻減速下降.