Question

12．近年來，隨著人類對火星的了解越來越多，美國等國家都已經開始進行移民火星的科學探索，并面向全球招募“單程火星之旅”的志愿者，若某物體在火星表面做自由落體運動的時間是在地球表面同一高度處做自由落體運動時間的1.5倍，已知地球半徑是火星半徑的2倍．
（1）求火星表面重力加速度與地球表面重力加速度的比值．
（2）如果將來成功實現了“火星移民”，求出在火星表面發射載人航天器的最小速度v₁與地球上衛星最小發射速度v₂的比值．

Answer 1

分析 （1）根據自由落體運動的位移時間關系公式$h=\frac{1}{2}g{t^2}$即可求出；
（2）第一宇宙速度是星球表面的環繞速度，重力等于向心力，根據萬有引力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）根據自由落體運動的位移時間關系公式$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，有：$g=\frac{2h}{t^2}$，
解得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{{t}_{2}^{2}}{{t}_{1}^{2}}$=$\frac{4}{9}$
（2）第一宇宙速度是星球表面的環繞速度，重力等于向心力，根據牛頓第二定律，有：$mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}$，
故：$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{{{g_1}{R_1}}}{{{g_2}{R_2}}}}=\sqrt{\frac{4}{9}×\frac{1}{2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
答：（1）求火星表面重力加速度與地球表面重力加速度的比值是$\frac{4}{9}$．
（2）在火星表面發射載人航天器的最小速度v₁與地球上衛星最小發射速度v₂的比值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 該題結合自由落體運動考查萬有引力定律，和牛頓第二定律的應用，牢記幾個相關的公式即可．