Question

8．如圖所示，粗細(xì)均勻的圓木棒A下端離地面高H，上端套著一個細(xì)環(huán)B．A和B的質(zhì)量均為m，A和B間的滑動摩擦力為f，且f＜mg．用手控制A和B使它們從靜止開始自由下落．當(dāng)A與地面碰撞后，A以碰撞地面時的速度大小豎直向上運(yùn)動，與地面發(fā)生碰撞時間極短，空氣阻力不計，運(yùn)動過程中A始終呈豎直狀態(tài)．求：若A再次著地前B不脫離A，A的長度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 剛開始棒和環(huán)一起向下做自由落體運(yùn)動，求出棒落地時的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出木棒彈起豎直上升過程中木棒和環(huán)的加速度，而環(huán)在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運(yùn)動狀態(tài)，所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環(huán)的加速度均保持不變，根據(jù)運(yùn)動學(xué)基本公式求出棒再次著地時的時間，從而求出這段時間內(nèi)環(huán)運(yùn)動的位移即可棒的最小長度．

解答 解：設(shè)木棒著地時的速度為v₀，因為木棒和環(huán)一起自由下落，則
${v}_{0}=\sqrt{2gH}$，
木棒彈起豎直上升過程中，根據(jù)牛頓第二定律得：
對木棒：f+mg=ma₁，
解得：${a}_{1}=\frac{f+mg}{m}$，方向豎直向下，
對環(huán)：mg-f=ma₂
解得：${a}_{2}=\frac{mg-f}{m}$，方向豎直向下，
可見，環(huán)在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運(yùn)動狀態(tài)，所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環(huán)的加速度均保持不變，
木棒再空中運(yùn)動的時間為t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}}$，
再這段時間內(nèi)，環(huán)運(yùn)動的位移為x=${v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
要使環(huán)不碰地面，則要求木棒的長度不小于x，即L≥x，
解得：L≥$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}H}{（mg+f）^{2}}$
答：若A再次著地前B不脫離A，A的長度應(yīng)滿足L≥$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}H}{（mg+f）^{2}}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律以及運(yùn)動學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析棒和環(huán)的運(yùn)動情況，知道棒和環(huán)的運(yùn)動時間相等，再抓住位移關(guān)系求解，難度適中．