Question

一根內徑均勻，一端封閉，另一端開口的直玻璃管，長l=100cm，用一段長h=25cm的水銀柱將一部分空氣封在管內，將其開口朝上豎直放置，被封住的氣柱長l=62.5cm．這時外部的大氣壓p=75cmHg，環境溫度t=-23℃，如圖所示，現在使氣柱溫度緩慢地逐漸升高，外界大氣壓保持不變．
（1）求溫度升高到多少℃時，水銀面恰能升到管口？
（2）試分析為保持管內水銀柱不全部溢出，溫度能升高的最大值，并求出這個溫度下氣柱的長．

Answer 1

【答案】分析：水銀面恰能升到管口的過程中，氣體做等壓變化，根據蓋?呂薩定律解出所需的溫度；第二過程再根據理想氣體狀態方程整理出一元二次方程，根據數學知識求解．
解答：解：選取封閉氣體為研究對象，在溫度升高過程中，可分成兩個過程研究．
（1）第一過程：從氣體開始升溫到水銀升到管口，此時氣體溫度為T，管的橫截面積為S，此過程為等壓過程，根據蓋?呂薩定律有：

整理得：T=
其中：T=t+273=250K
l′=75cm
l=62.5cm．
代入數據解得：T=300（K）
t=T-273=27℃
（2）第二過程，溫度達到300K時，若繼續升溫，水銀開始溢出，設當溫度升高到T′時，因水銀溢出使水銀減短了x，此過程氣體的三個狀態參量p、V、T均發生了變化．
p₁=p+h=75+25=100（cmHg）
V₁=l′s=75S
T₁=300K
p₂=（p+h-x）=（100-x）cmHg
V₂=（75+x）S
求解：T₂
根據狀態方程：        
得：=
整理得：T₂=-x²+x+300
根據數學知識得當x=12.5m時T₂取得最大值，且最大值T_2max=306.25K即當管內氣體溫度升高到T_2max=33.25℃時，管內氣柱長為87.5cm．
答：（1）溫度升高到27℃時，水銀面恰能升到管口．
（2）氣體溫度升高到T_2max=33.25℃時，管內氣柱長為87.5cm．
點評：理想氣體狀態方程應用的關鍵是找準氣體的初狀態與末狀態各個參量，然后根據理想氣體狀態方程列式求解．