Question

16．在星球表面發射探測器，當發射速度為v時，探測器可繞星球表面做勻速圓周運動；當發射速度為2v時，可擺脫星球引力束縛脫離該星球．已知地球，火星兩星球的質量比約為10：1、半徑比約為2：1，則探測器在地球表面受到的引力與在火星表面受到的引力之比為5：2；探測器分別脫離兩星球所需要的發射速度之比為$\sqrt{5}：1$．

Answer 1

分析 探測器剛好脫離星球，動能全部轉化為勢能，發射速度與質量無關，根據萬有引力公式以及地球、火星兩星球質量、半徑的關系比較萬有引力大小

解答 解：根據萬有引力定律，探測器在地球表面受到的引力為：$F=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$
探測器在火星表面受到的引力為：$F′=G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}$
$\frac{F}{F′}=\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{10}{1}×\frac{{1}_{\;}^{2}}{{2}_{\;}^{2}}=\frac{5}{2}$
根據萬有引力提供向心力為：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
探測器繞地球表面做勻速圓周運動的線速度為：$v=\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}$
探測器繞火星表面做勻速圓周運動的線速度為：$v′=\sqrt{\frac{G{M}_{火}^{\;}}{{R}_{火}^{\;}}}$
$\frac{v}{v′}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{10}{1}×\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{1}$
探測器分別脫離兩星球所需要的發射速度之比為：$\frac{2v}{2v′}=\frac{v}{v′}=\frac{\sqrt{5}}{1}$
故答案為：5：2，$\sqrt{5}：1$

點評 本題主要考查了萬有引力公式得直接應用，知道繞星球表面做勻速圓周運動速度的含義，明確探測器剛好脫離星球的速度與第一宇宙速度的關系，難度適中．