Question

2．己知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G；
（1）求地球的平均密度ρ；
（2）2016年我國將發射“天宮二號”空間實驗室，并發射“神舟Ⅱ號”載人飛船和“天舟一號”貨運飛船，與“天宮二號”交會對接．假設“天宮二號”空間實驗室進入預定軌道后繞地球做勻速圓周運動，運行的周期是T，結合題干中所給的己知量，求“天宮二號”空間實驗室繞地球運行時離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于重力求出地球的質量，結合密度公式求出地球的平均密度．
（2）根據萬有引力提供向心力，結合周期的大小求出軌道半徑，從而得出“天宮二號”空間實驗室繞地球運行時離地面的高度．

解答 解：（1）設地球的質量為M，對于在地面處質量為m的物體，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ①
又因為$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$     ②
由①②兩式解得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$．
（2）設飛船的質量為m′，
則$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，④
由①④兩式解得h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）地球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）“天宮二號”空間實驗室繞地球運行時離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．