Question

1．如圖所示，一質量m=1kg的小球套在一根足夠長的固定直桿上，直桿與水平夾角θ=37°．現小球在豎直向上的拉力F=20N作用下從A點由靜止出發沿桿向上開始做勻加速運動．加速度a=2m/s²，F作用2s后撤去．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求桿與球間的動摩擦因數μ；
（2）求小球上滑過程中距A點最大距離x_m；
（3）若從撤去外力開始計時，小球經多長時間將經過距A點上方為4.6m的B點？

Answer 1

分析 （1）首先分析撤去外力前小球的受力情況：重力、拉力，桿的支持力和滑動摩擦力，采用正交分解法，根據牛頓第二定律求出動摩擦因數μ．
（2）由速度時間公式求出撤去F時小球的速度，勻加速上升的位移．再根據牛頓第二定律求得撤去F后小球的加速度，運用運動學公式求出最大距離．
（3）再由牛頓第二定律和運動學位移公式結合求經過B點的時間．

解答 解：（1）對小球受力分析，由牛頓第二定律得：
在平行斜面方向上有：（F-mg）sin37°-f=ma，
垂直斜面方向上有：（F-mg）cos37°-N=0，
其中：f=μN，
聯立解得：μ=0.5；
（2）剛撤去F時，小球的速度為：v₁=at₁=2×2=4m/s
2s小球的位移大小為：x₁=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×2×2²=4m
撤去拉力F后，小球減速上升過程，根據牛頓第二定律得：
  mgsin37°+μmgcos37°=ma₂
解得：a₂=10m/s²
因此小球繼續上升的時間為：t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{10}$=0.4s；
上滑的位移為：x₂=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{2}$=$\frac{4}{2}×0.4$=0.8m，
則小球上滑過程中距A點的最大距離為：x_m=x₁+x₂=4.8m；
（3）在上滑階段從撤去外力到小球通過B點的運動過程有：
   x_AB-x₁=v₁t₃-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{3}^{2}$
解得上滑階段經歷的時間 t₃=0.2s（ t₃=0.6s＞t₂=0.4s，不合理舍去）
小球返回B點過程是勻加速，有：
    mgsin37°-μmgcos37°=ma₃
解得 a₃=2m/s²
因此小球由頂端返回B點時有 x_m-x_AB=$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{4}^{2}$
解得 t₄=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s
故從撤去拉力F開始，小球上滑到最高點，再返回通過B點所用的總時間為：
t=t₂+t₄=0.4+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2+\sqrt{5}}{5}$s；
答：（1）桿與球間的動摩擦因數μ是0.5；
（2）小球上滑過程中距A點最大距離x_m是4.8m；
（3）若從撤去外力開始計時，小球經0.2s和$\frac{2+\sqrt{5}}{5}$s時間將經過距A點上方為4.6m的B點．

點評 牛頓定律和運動學公式是解決力學的基本方法．關鍵在于分析物體的受力情況和運動情況．當物體受力較多時，往往采用正交分解法求加速度．本題求小球上滑過程中距A點最大距離，也可運用動能定理．