Question

10．一個同學要研究輕質彈簧的彈性勢能與彈簧長度改變量的關系，進行了如下實驗：在離地面高度為h的光滑水平桌面上，沿著與桌子邊緣垂直的方向放置一輕質彈簧，其左端固定，右端與質量為m的一個小鋼球接觸．當彈簧處于自然長度時，小鋼球恰好在桌子邊緣，如圖所示．讓鋼球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，使鋼球沿水平方向射出桌面，小鋼球在空中飛行后落在水平地面上，水平距離為s．
（1）小鋼球離開桌面時的速度大小為v₀=s$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，彈簧的彈性勢能E_p與小鋼球質量m、桌面離地面高度h、小鋼球飛行的水平距離s等物理量之間的關系式為E_p=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$．．
（2）彈簧的壓縮量x與對應的鋼球在空中飛行的水平距離s的實驗數據如下表所示：

彈簧的壓縮量x（cm）	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50
小鋼球飛行的水平距離s（m）	2.01	3.00	4.01	4.96	6.01	7.00

由實驗數據，可確定彈性勢能E_p與彈簧的壓縮量x的關系為C（式中k為比例系數）．
A．E_p=kx        
B．E_p=k$\sqrt{x}$
C．E_p=kx²       
D．E_p=k$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據平拋運動規律可以求出鋼球離開桌面時的速度大小，根據功能關系可以求出彈性勢能的表達式．
（2）先從實驗數據得出彈簧的壓縮量與小球的射程的關系，再結合第一小問中結論得到彈性勢能與小球的射程的關系，最后綜合出彈簧的彈性勢能E_P與彈簧長度的壓縮量x之間的關系

解答 解：（1）設桌子高度為h，小球離開桌面后做平拋運動，
水平方向：s=v₀t，
豎直方向有：h$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
聯立解得：v₀=s$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，
根據功能關系可知彈簧彈性勢能轉化為小球平拋的初動能，有：
E_P=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$，
解得：
E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$．
（2）E_p與彈簧的壓縮量x之間的關系為：E_p與x²成正比．
猜測的理由：由于${E}_{p}=\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，可知E_p與s²成正比，由表中數據可看出，在誤差范圍內，x正比于s，猜測可能E_p與x²也成正比，
故答案為：（1）s$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$．（2）C

點評 本題借助于平拋運動以及數學推導考查了彈性勢能和彈性形變量之間的關系，是考查知識綜合應用、公式理論推導的好題，其中得到彈性勢能表達式是個重點，難點是猜測E_p與彈簧的壓縮量x之間的關系，彈性勢能的表達式為：${E}_{P}=\frac{1}{2}k{x}^{2}$，故我們的猜測是完全正確的